Calculus

극한의 개념

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$: $x$가 $a$에 가까워질 때 $f(x)$가 다가가는 값

직관적 설명

$f(a)$가 실제로 정의되어 있는지와는 무관합니다. 그저 $x$가 $a$에 한없이 다가갈 때 함숫값이 다가가는 목표값을 묻는 것입니다.

좌극한과 우극한이 같아야 극한이 존재한다

직관적 설명

왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때 목표값이 다르면, "하나의 값으로 다가간다"고 말할 수 없어 극한이 존재하지 않습니다.

변화율과 도함수

평균변화율: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

직관적 설명

두 점 $(a,f(a))$와 $(b,f(b))$를 잇는 할선(secant line)의 기울기입니다.

순간변화율(미분계수): $f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

직관적 설명

평균변화율의 두 점을 점점 가깝게 붙이는($h\to0$) 극한입니다. 할선이 결국 한 점에서의 접선이 됩니다.

접선의 기울기 $=f'(a)$

직관적 설명

미분계수의 정의 자체가 "그 점에서의 접선의 기울기"이므로, 정의와 결과가 같습니다.

미분법칙

$\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

직관적 설명

모든 미분법칙의 출발점입니다. 이항정리로 $(x+h)^n$을 전개해서 정의에 대입하면 유도됩니다.

곱의 법칙: $(uv)'=u'v+uv'$

직관적 설명

두 함수가 함께 변할 때, 각각 따로 변하는 효과를 더해줘야 합니다 — 한쪽만 변한다고 가정하고 미분한 값을 두 번 더하는 구조입니다.

몫의 법칙 AHL: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

핵심 도출

$u/v=u\cdot v^{-1}$로 보고 곱의 법칙과 연쇄법칙을 적용하면 유도할 수 있습니다.

연쇄법칙: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$

직관적 설명

합성함수는 "안쪽이 변하는 속도"와 "바깥쪽이 안쪽 변화에 반응하는 속도"를 곱해야 전체 변화율이 나옵니다. 분수처럼 $du$가 약분되는 것처럼 기억하면 편합니다.

접선과 법선

접선의 기울기: $f'(a)$ / 법선의 기울기: $-\dfrac{1}{f'(a)}$

직관적 설명

법선은 접선과 수직이므로, 수직 조건 $m_1m_2=-1$을 그대로 적용한 것입니다.

증가·감소와 극값

$f'(x)>0$이면 증가, $f'(x)<0$이면 감소

직관적 설명

도함수는 순간 변화율입니다. 변화율이 양수라는 건 $x$가 커질 때 $y$도 커진다는 뜻이므로 증가입니다.

극값 후보: $f'(x)=0$ 또는 미분 불가능한 점

직관적 설명

매끄러운 봉우리/골짜기는 접선이 수평이라 $f'=0$이고, 뾰족한 점은 애초에 접선(미분)이 정의되지 않습니다. 둘 다 후보에 넣어야 합니다.

1차 도함수 판정법: $f'$의 부호가 바뀌는 지점이 극값

직관적 설명

증가하다 감소로 바뀌면 그 지점이 봉우리(극대), 감소하다 증가로 바뀌면 골짜기(극소)입니다.

이계도함수, 오목성, 변곡점

$f''(x)>0$: 아래로 볼록 / $f''(x)<0$: 위로 볼록

직관적 설명

$f''$는 "기울기가 변하는 속도"입니다. 기울기가 계속 커지고 있으면($f''>0$) 그래프가 컵 모양(아래로 볼록)입니다.

변곡점: $f''(x)=0$이면서 부호가 바뀌는 지점

직관적 설명

오목한 방향이 바뀌는 지점입니다. $f''=0$만으로는 부족하고, 실제로 부호가 바뀌는지 꼭 확인해야 합니다.

2차 도함수 판정법: $f'(a)=0,\ f''(a)>0\Rightarrow$ 극소, $f''(a)<0\Rightarrow$ 극대

직관적 설명

기울기가 0인 지점에서 그래프가 컵 모양(아래로 볼록)이면 그 지점은 골짜기(극소), 뒤집힌 컵 모양이면 봉우리(극대)입니다.

지수·로그·삼각함수의 미분

$\dfrac{d}{dx}e^x=e^x$, $\dfrac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$

직관적 설명

$e^x$는 "미분해도 자기 자신인" 특별한 함수입니다. 이 성질이 $e$를 자연스러운 밑으로 만드는 이유입니다. 다른 밑 $a$는 $a^x=e^{x\ln a}$로 바꿔 연쇄법칙을 적용하면 $\ln a$가 따라옵니다.

$\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac1x$, $\dfrac{d}{dx}\log_a x=\dfrac{1}{x\ln a}$

핵심 도출

$y=\ln x \iff e^y=x$를 양변 음함수 미분하면 $e^y\cdot y'=1$, 즉 $y'=1/e^y=1/x$.

$\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x$, $\dfrac{d}{dx}\tan x=\sec^2x$

직관적 설명

사인 곡선의 기울기가 코사인 곡선 모양을 그대로 따라간다는 사실 자체가 이 둘의 관계입니다. 부호가 하나씩 밀리며 순환합니다: $\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos\to\sin$.

역수·역삼각함수의 미분, 고계도함수 AHL

$\dfrac{d}{dx}\arcsin x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^2}$

핵심 도출

$y=\arcsin x\iff\sin y=x$를 음함수 미분하면 $\cos y\cdot y'=1$. $\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$이므로 $y'=1/\sqrt{1-x^2}$.

미분가능하면 연속이지만, 역은 성립하지 않는다

직관적 설명

$|x|$는 $x=0$에서 끊어지지 않고 이어져(연속) 있지만, 뾰족해서 접선(미분)은 정의되지 않습니다.

음함수 미분과 관련 변화율 AHL

음함수 미분: 양변을 $x$에 대해 미분, $y$가 들어간 항은 연쇄법칙 적용 후 $\dfrac{dy}{dx}$로 정리

직관적 설명

$y$를 $x$의 함수로 보고, $y$가 포함된 모든 항을 미분할 때 자동으로 $dy/dx$가 따라 붙는다고 생각하면 됩니다(연쇄법칙).

관련 변화율: 시간 $t$에 대해 각 변수를 미분해서 관계식을 세운다

직관적 설명

여러 변수(반지름, 부피 등)가 모두 시간에 따라 변할 때, 그 변수들 사이의 방정식을 $t$로 미분하면 변화율끼리의 관계식이 나옵니다.

로피탈 정리와 매클로린 급수 AHL

로피탈 정리는 $\dfrac00$ 또는 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴일 때만: $\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

직관적 설명

분자·분모가 동시에 0(또는 무한대)으로 가서 원래 극한이 "미정형"일 때, 각각을 미분해서 얼마나 빠르게 0(또는 무한대)에 다가가는지 비교하는 것입니다. 조건을 만족하지 않는데 쓰면 틀린 답이 나옵니다.

매클로린 급수: $f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$

직관적 설명

$x=0$ 근처에서 함숫값, 기울기, 오목성(그리고 그 이상)까지 똑같이 흉내내는 다항식을 만드는 것입니다. 항을 많이 더할수록 원래 함수에 더 가까워집니다.

최적화와 운동학 응용

최적화: 제약조건으로 변수를 하나로 줄인 뒤 $f'(x)=0$인 지점을 찾는다

직관적 설명

변수가 여러 개면 미분할 수 없으니, 제약조건(둘레 고정, 부피 고정 등)을 이용해 변수를 하나로 줄인 다음 극값을 찾습니다.

운동학: $s(t)$ 위치, $v(t)=s'(t)$ 속도, $a(t)=v'(t)$ 가속도

직관적 설명

미분은 "변화율을 구하는 도구"이므로, 위치의 변화율이 속도, 속도의 변화율이 가속도라는 물리적 의미와 정확히 일치합니다.

부정적분

$\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\neq-1$)

직관적 설명

미분의 반대 방향입니다. $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$을 미분해보면 정확히 $x^n$이 나오는지 검산해보면 이해가 빠릅니다.

$\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$, $\displaystyle\int\dfrac1x\,dx=\ln|x|+C$

직관적 설명

미분법칙을 거꾸로 읽은 것입니다. $e^x$는 미분해도 자기 자신이니 적분해도 자기 자신, $\ln x$의 도함수가 $1/x$였으니 그 역이 성립합니다.

$\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$, $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$

직관적 설명

미분의 순환 $\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos$을 거꾸로 밟는 것이라 부호를 헷갈리기 쉽습니다. 적분 후 미분해서 검산하는 습관을 들이세요.

정적분과 넓이

리만 합: 직사각형으로 넓이를 근사, $n\to\infty$일 때 정적분으로 수렴

직관적 설명

곡선 아래 넓이를 얇은 직사각형들로 잘게 쪼개 더하면 근사가 되고, 직사각형을 무한히 얇게 만들면 오차가 0으로 수렴해 정확한 넓이가 됩니다.

미적분의 기본정리: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

직관적 설명

미분과 적분이 서로 역연산이라는, 미적분학 전체를 관통하는 핵심 정리입니다. 넓이를 직접 쌓지 않고 원시함수의 값 차이만 계산하면 됩니다.

$x$축 아래에서는 적분값이 음수 — 넓이를 구할 땐 절댓값으로

직관적 설명

정적분은 "부호 있는 넓이"입니다. $x$축 위아래를 걸치는 구간의 넓이를 구할 땐 구간을 나눠 각각 절댓값을 취한 뒤 더해야 합니다.

치환적분과 부분적분 AHL

치환적분: $u=g(x)$로 치환, $du=g'(x)\,dx$

직관적 설명

연쇄법칙을 거꾸로 적용하는 것입니다. 복잡한 식 안의 덩어리를 $u$ 하나로 바꿔서 적분을 단순하게 만듭니다.

부분적분: $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$

핵심 도출

곱의 미분법칙 $(uv)'=u'v+uv'$의 양변을 적분하면 $uv=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx$가 되고, 이를 정리하면 부분적분 공식이 나옵니다.

회전체의 부피 AHL

$x$축 회전: $V=\pi\displaystyle\int_a^b[f(x)]^2\,dx$

직관적 설명

곡선을 $x$축 둘레로 돌리면 얇은 원판들이 쌓인 모양이 됩니다. 각 원판의 반지름이 $f(x)$이므로 넓이는 $\pi[f(x)]^2$이고, 이를 적분(쌓기)하면 부피가 됩니다.

미분방정식 AHL

변수분리형: $\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ 꼴이면 양변을 나눠서 적분

직관적 설명

$x$만 있는 부분과 $y$만 있는 부분을 양쪽으로 완전히 갈라놓을 수 있으면, 각각 독립적으로 적분해서 풀 수 있습니다.

오일러법(수치해법): $y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)$

직관적 설명

대수적으로 풀기 어려운 미분방정식을, 현재 위치의 기울기를 이용해 아주 작은 걸음(step) $h$만큼씩 전진하며 근사적으로 따라가는 방법입니다.