$x$가 1만큼 변할 때 $y$가 얼마나 변하는지를 나타내는 비율입니다.
기울기 $m$과 점 하나 $(x_1,y_1)$만 알면 그 직선 위의 모든 점 $(x,y)$가 만족하는 관계식을 바로 세울 수 있습니다.
평행한 두 직선은 기울어진 정도가 같습니다. 수직 조건은, 한 직선을 90° 돌리면 다른 직선이 되는데, 그 회전이 기울기를 "역수 취하고 부호 반전"시키기 때문입니다.
입력 하나에 출력이 정확히 하나여야 함수입니다. 입력 하나에 출력이 둘 이상이면 함수가 아닙니다.
수학적으로 "의미가 없어지는" 지점들을 정의역에서 제외해야 합니다. 이 세 가지가 IB에서 가장 자주 나오는 제약조건입니다.
같은 $x$값에서 그래프가 두 점을 지나면, 그 $x$에 대응하는 $y$가 두 개라는 뜻이라 함수의 정의를 어깁니다.
두 입력이 같은 출력을 내면, 거꾸로 되돌릴 때 그 출력이 어느 입력에서 왔는지 알 수 없습니다. 그래서 일대일이어야 역함수가 잘 정의됩니다.
역함수는 $x$와 $y$의 역할을 서로 바꾼 것입니다. 좌표평면에서 $x$와 $y$를 맞바꾸는 변환이 바로 직선 $y=x$에 대한 대칭이동입니다.
어떤 동작을 하고 그 역동작을 하면 원래대로 돌아옵니다. 역함수는 딱 그 "되돌리기" 동작입니다.
기호의 순서와 계산 순서가 반대라 헷갈리기 쉽습니다. 안쪽 괄호($g$)부터 계산해야 합니다.
$g(x)$의 결과값이 $f$에 넣을 수 없는 값이면, 그 $x$는 합성함수의 정의역에서 제외됩니다.
$(x-h)^2\ge0$이므로 $a>0$이면 $x=h$일 때 최솟값 $k$, $a<0$이면 최댓값 $k$를 가짐이 바로 보입니다. 그래서 꼭짓점이 한눈에 드러나는 형태입니다.
$x=p$ 또는 $x=q$를 대입하면 두 인수 중 하나가 0이 되어 $y=0$이 됩니다. 그래서 $x$절편이 바로 보입니다.
근의 공식 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$에서 근호 안의 부호가 실근의 개수를 결정합니다. 음수면 실수 범위에서 제곱근이 없어서 실근이 없습니다.
$a(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$를 원래 식 $ax^2+bx+c$와 계수 비교하면 바로 나옵니다.
$x\to m$이면 분모가 0에 가까워져 $y\to\pm\infty$ (수직 점근선). $x\to\pm\infty$이면 $\dfrac{k}{x-m}\to0$이라 $y\to n$ (수평 점근선).
분자를 분모로 다항식 나눗셈하면 몫(상수)과 나머지 분수로 쪼개집니다. 그 몫이 수평점근선 $n$이 됩니다.
$x$가 아무리 작아져도(음수로 커져도) $a^x$는 0에 가까워질 뿐 절대 0이 되지 않습니다. 그래서 $y=0$이 점근선입니다.
역함수는 그래프를 $y=x$에 대해 대칭시킨 것이므로, 원래의 수평 점근선 $y=0$이 수직 점근선 $x=0$으로 바뀝니다.
로그함수에서는 "옆으로 늘리기"와 "위아래로 밀기"가 결국 같은 효과를 냅니다 — 다른 함수에서는 보기 힘든 로그함수만의 특징입니다.
가능하면 항상 대수적 풀이를 먼저 시도하세요 — 정확한 값을 주기 때문입니다.
대수적으로 풀 수 없는 방정식(초월방정식 등)에서 GDC로 교점을 찾습니다. 답안에는 반드시 소수점 몇 자리까지의 근사값임을 밝혀야 합니다.
$x$ 대신 $(x-a)$를 넣으면, 같은 함숫값을 만들기 위해 $x$가 $a$만큼 더 커져야 하므로 그래프가 오른쪽으로 $a$만큼 밀립니다(부호가 반대로 느껴지는 이유).
$y$ 앞에 곱하면 출력이 바로 늘어나 세로 신축, $x$ 안에 곱하면(나누면) 같은 출력을 내기 위한 입력이 바뀌어야 해서 가로 신축입니다.
출력에 마이너스를 붙이면 위아래가 뒤집히고(x축 대칭), 입력에 마이너스를 붙이면 좌우가 뒤집힙니다(y축 대칭).
"먼저 옆으로 밀고 늘리기"와 "먼저 늘리고 옆으로 밀기"는 다른 결과를 줍니다. 함수 안에서 $x$에 적용되는 연산은 일반적인 사칙연산 순서와 반대로 적용된다는 것을 기억하세요.
$f(x)=(x-a)Q(x)+R$ ($R$은 상수, 1차식으로 나눈 나머지이므로). 양변에 $x=a$를 대입하면 $f(a)=R$.
나머지 정리의 특수한 경우입니다 — 나머지가 0이면 나누어떨어진다는 뜻이므로 인수입니다.
실수 범위에서는 근이 부족해 보여도(허근 때문에), 복소수까지 허용하면 항상 차수만큼 근이 다 채워집니다.
이차방정식의 근과 계수 관계를 $n$차로 확장한 것입니다. $a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$을 전개해서 계수를 비교하면 얻어집니다.
$x^2, \cos x$처럼 짝수 지수/짝수성을 가진 함수가 우함수, $x^3, \sin x$처럼 홀수성을 가진 함수가 기함수인 경우가 많습니다.
절댓값은 음수를 양수로 바꾸므로, 원래 그래프에서 $y<0$이었던 부분만 $x$축을 기준으로 뒤집힙니다.
$x<0$일 때 $|x|$가 그 절댓값으로 바뀌므로, 결국 $x\ge0$쪽 그래프의 모양이 왼쪽으로 그대로 복사됩니다. 원래 $x<0$쪽 그래프는 버려집니다.
제곱은 항상 0 이상을 만들고, 1보다 작은 수는 제곱하면 더 작아지고 1보다 큰 수는 제곱하면 더 커지는 성질 때문입니다.
분모가 0에 가까워지면 역수는 무한히 커지고, $f(x)=\pm1$일 때는 $1/f(x)$도 똑같이 $\pm1$이라 두 그래프가 교차합니다.
$f(x)>g(x)$의 해는 $f$의 그래프가 $g$의 그래프보다 위에 있는 $x$의 구간입니다.
부호가 바뀔 수 있는 곳은 근이나 점근선뿐입니다. 그 사이 구간에서는 부호가 일정하므로, 각 구간에서 값 하나씩만 대입해 확인하면 됩니다.
Geometry and Trigonometry, Statistics and Probability, Calculus 순서대로 공개됩니다.
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