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족집게 노트

Geometry and Trigonometry

시험 직전, 잊으면 안 되는 것만 모았습니다. SL은 전체 공통, AHL 배지가 붙은 항목은 AHL 학생만 해당됩니다.

  1. 사인법칙
  2. 코사인법칙
  3. 삼각형의 넓이
  4. 원의 기하
  5. 삼각비와 항등식
  6. 삼각함수의 그래프
  7. 삼각함수 그래프의 변환
  8. 삼각방정식
  9. 역수 삼각비와 역삼각함수 AHL
  10. 각의 변환과 항등식 AHL
  11. 벡터 AHL

사인법칙

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ ($R$: 외접원 반지름)

직관적 설명

같은 삼각형 안에서 "변의 길이"와 "그 맞은편 각의 사인값"의 비율이 항상 일정하다는 뜻입니다. 외접원의 성질에서 유도됩니다.

A B C c b a
SSA(두 변과 끼인각이 아닌 각) 조건에서는 해가 2개일 수 있다 — 모호한 경우(ambiguous case) 확인

직관적 설명

주어진 각과 두 변으로 삼각형을 그려보면, 같은 조건을 만족하는 예각 삼각형과 둔각 삼각형이 둘 다 존재할 수 있습니다. $\sin\theta=\sin(\pi-\theta)$이기 때문입니다.

코사인법칙

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

직관적 설명

피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형까지 확장한 버전입니다. $-2ab\cos C$가 "직각에서 벗어난 정도"를 보정해줍니다.

각을 구할 때: $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

직관적 설명

코사인법칙 공식을 $\cos C$에 대해 그대로 정리한 것뿐입니다. 세 변을 다 알 때 각을 구하는 표준 방법입니다.

$C=90°$이면 피타고라스 정리로 축소됨

핵심 도출

$\cos90°=0$이므로 $-2ab\cos C$ 항이 사라져 $c^2=a^2+b^2$이 됩니다. 즉 피타고라스 정리는 코사인법칙의 특수한 경우입니다.

삼각형의 넓이

$\text{Area}=\dfrac12 ab\sin C$ — 두 변과 끼인각을 알 때

핵심 도출

밑변 $a$, 높이는 $b\sin C$(변 $b$가 밑변과 만드는 각 $C$에서 수선의 길이)이므로, 넓이 $=\dfrac12\times$밑변$\times$높이$=\dfrac12ab\sin C$.

원의 기하

호의 길이: $l=r\theta$ (반드시 라디안)

직관적 설명

라디안 자체가 "반지름 대비 호의 길이 비율"로 정의되기 때문에, 각도 $\times$ 반지름이 곧바로 호의 길이가 됩니다.

부채꼴의 넓이: $A=\dfrac12 r^2\theta$

직관적 설명

전체 원의 넓이 $\pi r^2$ 중에서 부채꼴이 차지하는 비율이 $\theta/(2\pi)$이므로, $\pi r^2\times\dfrac{\theta}{2\pi}=\dfrac12r^2\theta$.

삼각비와 항등식

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

핵심 도출

단위원 위의 점 $(\cos\theta,\sin\theta)$은 원점에서 거리가 항상 1이므로, 피타고라스 정리에 의해 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$.

cos θ sin θ
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

직관적 설명

기울기(변화율)의 정의와 같은 구조입니다. 단위원에서 $\tan\theta$는 $x$축의 변화량 대비 $y$축의 변화량 비율입니다.

배각공식: $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$, $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$

핵심 도출

덧셈정리 $\sin(\theta+\theta)$, $\cos(\theta+\theta)$에 $\theta=\theta$를 대입하면 바로 나옵니다. $\cos2\theta$의 세 가지 형태는 $\sin^2+\cos^2=1$을 이용해 서로 바꿔 쓴 것입니다.

삼각함수의 그래프

$y=\sin x$, $y=\cos x$: 주기 $2\pi$, 치역 $[-1,1]$

직관적 설명

단위원을 한 바퀴(=$2\pi$) 돌면 같은 위치로 돌아오므로 주기가 $2\pi$이고, 원 위의 점의 좌표이므로 항상 $-1$과 $1$ 사이입니다.

$y=\tan x$: 주기 $\pi$, 점근선 $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

직관적 설명

$\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$인데 $\cos\theta=0$인 지점에서 분모가 0이 되어 점근선이 생깁니다. $\cos\theta=0$은 정확히 $\pi/2+k\pi$입니다.

삼각함수 그래프의 변환

$y=a\sin(b(x-c))+d$: 진폭 $|a|$, 주기 $\dfrac{2\pi}{b}$, 위상이동 $c$, 수직이동 $d$

직관적 설명

일반 함수의 변환 규칙과 완전히 같습니다: $a$는 세로 신축(진폭), $b$는 가로 압축(주기가 $1/b$배), $c$는 가로이동, $d$는 세로이동.

삼각방정식

일반해는 주기성 때문에 무한히 많다 — 주어진 구간 안의 해만 남기고 나머지는 버릴 것

직관적 설명

삼각함수는 주기적으로 반복되므로 방정식의 해도 주기마다 반복됩니다. 문제에서 준 구간(보통 $[0,2\pi]$ 등)에 맞는 해만 답으로 남기세요.

역수 삼각비와 역삼각함수 AHL

$\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$, $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$, $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$

직관적 설명

이름 그대로 각 삼각비의 "역수"입니다. sec는 cos의 역수, csc는 sin의 역수라 이름과 짝이 엇갈리는 점만 주의하면 됩니다.

$\arcsin,\arccos,\arctan$은 정의역·치역이 제한된 함수 — 범위 벗어난 답은 오답

직관적 설명

$\sin$ 자체는 일대일이 아니라서 역함수가 존재하려면 치역을 제한해야 합니다($\arcsin$의 치역은 $[-\pi/2,\pi/2]$). 계산기 답이 이 범위 밖이면 다른 해로 변환해야 합니다.

각의 변환과 항등식 AHL

보각·여각 공식: $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$, $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$

직관적 설명

단위원에서 각 $\theta$와 $\pi-\theta$는 $y$축에 대해 대칭인 점이라, $y$좌표(sin)는 같고 $x$좌표(cos)는 부호만 반대입니다.

피타고라스 항등식 변형: $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$, $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$

핵심 도출

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$의 양변을 $\cos^2\theta$로 나누면 $\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$가 바로 나옵니다.

배각·반각공식 확장 활용

직관적 설명

배각공식을 거꾸로 읽으면 반각공식이 됩니다. 적분이나 방정식에서 각을 쪼개거나 합칠 때 자주 씁니다.

벡터 AHL

벡터는 크기와 방향을 가짐: $\vec{AB}=B-A$

직관적 설명

점 $A$에서 점 $B$로 가는 "화살표"입니다. 도착점 좌표에서 출발점 좌표를 빼면 그 이동량(성분)이 나옵니다.

크기: $|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$, 단위벡터: $\hat v=\dfrac{\vec v}{|\vec v|}$

직관적 설명

피타고라스 정리를 3차원으로 확장한 것이 벡터의 크기입니다. 크기로 나누면 방향은 같고 길이가 1인 단위벡터가 됩니다.

내적: $\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec u||\vec v|\cos\theta$

직관적 설명

두 벡터가 "얼마나 같은 방향을 향하는지"를 수치화한 것입니다. 같은 방향이면 최댓값, 수직이면 0, 반대 방향이면 최솟값(음수)이 됩니다.

θ u v
두 벡터가 수직 $\iff \vec u\cdot\vec v=0$

핵심 도출

$\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta$에서, 벡터의 크기가 0이 아니라면 $\cos\theta=0$일 때만 내적이 0이 됩니다. $\cos90°=0$이므로 수직 조건과 동치입니다.

직선의 벡터방정식: $\vec r=\vec a+t\vec b$

직관적 설명

한 점 $\vec a$에서 출발해서 방향벡터 $\vec b$를 따라 매개변수 $t$만큼 이동한 모든 점의 집합이 직선입니다.

3D에서 두 직선은 평행하지 않아도 안 만날 수 있다 (꼬인위치, skew)

직관적 설명

2D에서는 평행하지 않은 두 직선이 항상 만나지만, 3D는 차원이 하나 더 있어서 서로 다른 "층"을 지나가며 스쳐 지나갈 수 있습니다.

외적: $\vec u\times\vec v$, 크기는 $|\vec u||\vec v|\sin\theta$(평행사변형 넓이), 방향은 두 벡터에 모두 수직

직관적 설명

내적이 "얼마나 같은 방향인지"를 나타낸다면, 외적은 "얼마나 다른 방향인지"(수직인 정도)를 나타내며, 그 결과가 두 벡터가 만드는 평면에 수직인 새로운 벡터입니다.

평면의 방정식: $\vec r\cdot\vec n=\vec a\cdot\vec n$, 또는 $ax+by+cz=d$

직관적 설명

평면 위의 임의의 점 $\vec r$에서 평면 위의 알려진 한 점 $\vec a$를 뺀 벡터는 항상 법선벡터 $\vec n$과 수직입니다. 그 수직 조건(내적=0)을 정리한 것이 평면의 방정식입니다.

직선-평면, 평면-평면의 교각은 법선벡터로 계산

직관적 설명

평면은 법선벡터로 방향이 결정되므로, 두 평면 사이의 각은 두 법선벡터 사이의 각과 (보각 관계로) 연결됩니다.