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족집게 노트

Number and Algebra

시험 직전, 잊으면 안 되는 것만 모았습니다. SL은 전체 공통, AHL 배지가 붙은 항목은 AHL 학생만 해당됩니다.

  1. 수열과 급수
  2. 지수와 로그
  3. 이항정리
  4. 증명 (SL)
  5. 이항급수 AHL
  6. 부분분수 AHL
  7. 다른 증명법 AHL
  8. 복소수: 직교형식 AHL
  9. 복소수: 극형식 AHL
  10. 극형식·오일러형식의 연산 AHL
  11. 드무아브르 정리 AHL
  12. 단위근 AHL
  13. 복소수의 거듭제곱근 AHL

수열과 급수

등차수열: $u_n = u_1+(n-1)d$, 공차 $d=u_{n+1}-u_n$

직관적 설명

첫째항 $u_1$에서 시작해서 공차 $d$를 $(n-1)$번 더한 것이 $n$번째 항입니다. $n$번째 항까지 가려면 "칸"을 $(n-1)$번 건너야 하니까요.

핵심 도출

$u_2=u_1+d,\ u_3=u_1+2d,\ u_4=u_1+3d,\dots$ 패턴이 보이면 $u_n=u_1+(n-1)d$로 일반화됩니다.

등차수열의 합: $S_n=\dfrac{n}{2}\bigl(2u_1+(n-1)d\bigr)=\dfrac{n}{2}(u_1+u_n)$

직관적 설명

가우스의 트릭: 수열을 정순으로 한 번, 역순으로 한 번 써서 더하면 모든 짝의 합이 똑같이 $u_1+u_n$이 됩니다.

핵심 도출

$S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$이고 $S_n=u_n+u_{n-1}+\cdots+u_1$이므로, 두 식을 더하면 $2S_n=n(u_1+u_n)$, 즉 $S_n=\dfrac{n}{2}(u_1+u_n)$.

각 열의 높이 = u1 + un (항상 일정)
등비수열: $u_n=u_1 r^{n-1}$, 공비 $r=u_{n+1}/u_n$

직관적 설명

매번 공비 $r$을 곱해가는 구조입니다. 등차수열이 "더하기"라면 등비수열은 "곱하기" 버전입니다.

핵심 도출

$u_2=u_1r,\ u_3=u_1r^2,\ u_4=u_1r^3,\dots$ 패턴에서 $u_n=u_1r^{n-1}$.

등비수열의 합: $S_n=\dfrac{u_1(r^n-1)}{r-1}$ ($r\neq 1$)

직관적 설명

망원(telescoping) 소거를 이용합니다. $S_n$에 $r$을 곱한 식을 원래 식에서 빼면 중간 항들이 전부 사라집니다.

핵심 도출

$S_n=u_1+u_1r+\cdots+u_1r^{n-1}$, $rS_n=u_1r+u_1r^2+\cdots+u_1r^n$. 두 식을 빼면 $S_n-rS_n=u_1-u_1r^n$, 즉 $S_n(1-r)=u_1(1-r^n)\Rightarrow S_n=\dfrac{u_1(r^n-1)}{r-1}$.

무한등비급수: $S_\infty=\dfrac{u_1}{1-r}$ — 반드시 $|r|<1$일 때만 수렴. 이 조건 빼먹으면 감점

직관적 설명

$|r|<1$이면 $r$을 계속 곱할수록 $r^n$이 0에 가까워집니다. 그래서 $S_n$ 공식에서 $r^n$ 항이 사라지고 $u_1/(1-r)$만 남습니다.

핵심 도출

$S_n=\dfrac{u_1(1-r^n)}{1-r}$에서 $n\to\infty$일 때 $|r|<1$이면 $r^n\to0$이므로 $S_\infty=\dfrac{u_1}{1-r}$.

S∞ S1 S2 S3 S4
시그마 표기: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k$

직관적 설명

반복되는 덧셈을 압축하는 표기법일 뿐입니다. $\sum_{k=1}^{n}u_k = u_1+u_2+\cdots+u_n$ — 무서워할 필요 없어요.

금융 응용(복리): $FV=PV\left(1+\dfrac{r}{100k}\right)^{kn}$ ($k$ = 연간 이자 지급 횟수)

직관적 설명

이자가 붙을 때마다 $(1+r/100k)$배씩 곱해지는 구조라, 사실 등비수열과 완전히 같은 원리입니다. 지급 횟수 $kn$번 곱하는 것이 지수 $kn$이 되는 이유입니다.

지수와 로그

지수법칙: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^0=1$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$

직관적 설명

지수는 "같은 수를 몇 번 곱했는가"입니다. 그래서 밑이 같은 두 수를 곱하면 곱한 횟수(지수)끼리 더해집니다. $a^0=1$인 이유는 $a^n/a^n=a^{n-n}=a^0$인데 $a^n/a^n=1$이기 때문입니다.

로그의 정의: $a^y=x \iff y=\log_a x$ ($a>0,\ a\neq 1,\ x>0$)

직관적 설명

로그는 "지수를 거꾸로 묻는 질문"입니다 — $a$를 몇 번 곱해야 $x$가 되는가? 그 답이 $\log_a x$입니다.

로그의 성질: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$, $\log_a(x^n)=n\log_a x$

핵심 도출

지수법칙에서 바로 나옵니다: $a^{\log_a x+\log_a y}=a^{\log_a x}\cdot a^{\log_a y}=xy$이므로, 양변에 $\log_a$를 취하면 $\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$.

밑 변환 공식: $\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}$

직관적 설명

계산기(GDC)는 보통 $\ln$이나 $\log_{10}$만 계산할 수 있어서, 다른 밑의 로그를 그 둘로 바꿔주는 다리 역할을 합니다.

지수방정식은 양변에 로그를 취해서 푼다 — 밑이 다르면 반드시 밑 변환부터

직관적 설명

미지수가 지수에 있으면 대수적으로 끌어내릴 방법이 로그뿐입니다. 양변에 같은 밑의 로그를 취하면 지수가 앞으로 내려옵니다.

이항정리

$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

직관적 설명

$(a+b)^n=(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$를 전개하면, 각 항은 $n$개의 괄호 중 몇 개에서 $b$를 고르는지에 따라 결정됩니다. $b$를 $k$개 고르는 방법의 수가 바로 $\binom{n}{k}$입니다.

$\displaystyle\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

직관적 설명

$n$개 중에서 $k$개를 순서 상관없이 고르는 경우의 수입니다. 파스칼의 삼각형에서 각 줄의 숫자가 이 값들입니다.

일반항: $T_{k+1}=\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k$ — "몇 번째 항"이라는 질문에서 $k+1$ 헷갈리지 말 것

직관적 설명

$k$는 0부터 시작하므로 $k=0$일 때가 첫 번째 항입니다. 그래서 $k$번째가 아니라 $(k+1)$번째 항이 $T_{k+1}$입니다. "다섯 번째 항"을 구하라고 하면 $k=4$를 대입해야 합니다.

증명 SL

연역적 증명: 이미 참인 명제로부터 논리적으로 결론을 이끌어낸다

직관적 설명

정의나 이미 증명된 정리에서 출발해서, 논리적으로 타당한 단계만 밟아 결론에 도달하는 방식입니다. "그럴듯해 보인다"는 증명이 아닙니다.

반례를 이용한 반증: 명제가 거짓임을 보이려면 반례 하나면 충분

직관적 설명

"모든 $x$에 대해 성립한다"는 명제를 무너뜨리려면, 성립하지 않는 $x$ 하나만 찾으면 됩니다. 반대로 참임을 보이려면 반례 없음을 모든 경우에 대해 보여야 하죠.

이항급수 AHL

$(1+x)^n=1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2!}x^2+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$

직관적 설명

일반 이항정리의 $n$이 자연수가 아닌 경우(분수, 음수)로 확장한 버전입니다. $\binom{n}{k}$의 정의를 $n$이 실수여도 쓸 수 있게 일반화한 것이라고 생각하면 됩니다.

$n$이 정수가 아니거나 음수면 무한급수 — $|x|<1$일 때만 수렴, 수렴 조건 반드시 명시

직관적 설명

$n$이 자연수면 어느 순간 항이 0이 되어 유한합이 되지만, 그렇지 않으면 항이 끝없이 이어집니다. 이 무한급수가 실제로 어떤 값에 수렴하려면 $|x|<1$이 필요합니다.

부분분수 AHL

서로 다른 일차식의 곱: $\dfrac{px+q}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}$

직관적 설명

통분의 역과정입니다. 오른쪽 두 분수를 통분하면 왼쪽 꼴이 나온다는 것을 알고, $A,\ B$를 미정계수로 두고 양변을 비교해서 찾습니다.

반복되는 인수: $\dfrac{1}{(x-a)^2}$ 항은 $\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$ 형태로 나눠 쓴다

직관적 설명

$(x-a)^2$가 분모에 있으면 $(x-a)^1$과 $(x-a)^2$ 두 "차수"를 모두 따로 대비해야 통분했을 때 원래 분자를 정확히 재현할 수 있습니다.

다른 증명법 AHL

수학적 귀납법: (1) 시작값에서 성립 확인 → (2) $n=k$에서 성립한다고 가정 → (3) $n=k+1$에서도 성립함을 보임 → (4) 결론

직관적 설명

도미노를 생각하면 됩니다: 첫 번째 도미노가 넘어지고(시작값), 어떤 도미노가 넘어지면 다음 도미노도 반드시 넘어진다는 것(귀납 단계)을 보이면, 결국 모든 도미노가 넘어집니다.

귀류법: 명제의 부정을 참이라고 가정하고 모순을 이끌어낸다

직관적 설명

"명제가 거짓이라면 어떻게 될까?"를 따라가다 보면 말이 안 되는 상황(모순)에 도달합니다. 그렇다면 애초의 가정(거짓)이 잘못된 것이므로 원래 명제는 참입니다.

복소수: 직교형식 AHL

$z=a+bi$, $i^2=-1$

직관적 설명

실수만으로는 $x^2=-1$을 풀 수 없어서, "제곱하면 $-1$이 되는 수" $i$를 새로 정의한 것입니다. $z=a+bi$는 실수부 $a$와 허수부 $b$로 이루어진 평면 위의 점으로 생각할 수 있습니다.

Re Im a b z = a+bi
켤레복소수: $\bar z=a-bi$

직관적 설명

허수부의 부호만 바꾼 것으로, 아르강 평면에서 실수축에 대해 대칭인 점입니다. $z\bar z=a^2+b^2$이 항상 실수가 되어 나눗셈을 유리화할 때 유용합니다.

절댓값(모듈러스): $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

직관적 설명

원점에서 $z$까지의 거리입니다. 실수부 $a$, 허수부 $b$를 두 변으로 하는 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용한 것과 같습니다.

나눗셈은 분모의 켤레를 곱해서 유리화

직관적 설명

분모에 $i$가 남아있으면 안 되니까, 분모의 켤레를 분모·분자에 곱해서 분모를 $|{\rm denom}|^2$이라는 실수로 만듭니다.

복소수: 극형식 AHL

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\operatorname{cis}\theta$

직관적 설명

같은 점 $z$를 "좌표(a, b)"가 아니라 "원점에서의 거리 $r$과 각도 $\theta$"로 표현하는 방식입니다. 회전이 얽힌 계산(곱셈, 거듭제곱)에서 훨씬 편리합니다.

θ r
$r=|z|$, $\theta=\arg z$ (보통 $-\pi<\theta\le\pi$ 범위로 잡음)

직관적 설명

각도는 $2\pi$마다 반복되니까, 답을 하나로 정하기 위해 보통 $(-\pi,\pi]$ 범위(주요값)를 씁니다.

극형식·오일러형식의 연산 AHL

곱셈: $r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ — 크기는 곱하고 각은 더한다

핵심 도출

지수법칙 $e^a\cdot e^b=e^{a+b}$을 그대로 적용한 것뿐입니다. 기하적으로는 한 복소수를 곱하는 것이 "회전 + 확대/축소"임을 보여줍니다.

나눗셈: $\dfrac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ — 크기는 나누고 각은 뺀다

핵심 도출

같은 원리로 $e^a/e^b=e^{a-b}$를 적용한 것입니다.

드무아브르 정리 AHL

$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=r^n e^{in\theta}$

직관적 설명

$z$를 $n$번 곱하는 것은 같은 회전을 $n$번 반복하는 것과 같습니다. 극형식 곱셈 규칙("각은 더하고 크기는 곱한다")을 $n$번 적용하면 바로 나옵니다.

핵심 도출

$z\cdot z=r\cdot r\, e^{i(\theta+\theta)}=r^2e^{i2\theta}$, 이를 반복하면 $z^n=r^ne^{in\theta}$.

단위근 AHL

$z^n=1$의 해: $z=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}$, $k=0,1,\dots,n-1$

직관적 설명

$1$을 극형식으로 쓰면 $1=\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)$ (각도가 $2\pi$의 배수만큼 다른 것도 전부 같은 점 $1$을 가리킴). 드무아브르 정리를 거꾸로 적용하면, $z$의 각도가 $2k\pi/n$일 때 $z^n$의 각도가 정확히 $2k\pi$가 되어 $1$로 돌아옵니다.

총 $n$개, Argand 평면 위에서 정 $n$각형을 이룬다

직관적 설명

단위원(반지름 1) 위에서 각도가 $2\pi/n$씩 균등하게 벌어진 $n$개의 점이므로, 정확히 정$n$각형 모양이 됩니다.

k=0

복소수의 거듭제곱근 AHL

$z^n=w$의 해: $z=|w|^{1/n}\left(\cos\dfrac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\right)$, $k=0,1,\dots,n-1$

직관적 설명

단위근 아이디어의 일반화입니다. $w$를 극형식 $|w|e^{i(\theta+2k\pi)}$로 쓴 뒤(각도가 $2\pi$만큼 다른 것도 같은 $w$), 양변에 $1/n$ 제곱을 하면 크기는 $|w|^{1/n}$, 각도는 $n$으로 나눈 값이 됩니다. 반지름이 $|w|^{1/n}$인 원 위에 정$n$각형을 이룹니다.