Calculus

1어디서 막히는가

$x^2$과 $e^{-x}$를 각각 따로 미분해서 곱해버립니다. 곱의 미분법을 안 쓰고 각 인수의 도함수만 곱하는 실수입니다.

2왜 막히는가

두 함수의 곱을 미분할 때 $(fg)'=f'g+fg'$라는 규칙 대신, $(fg)'=f'g'$처럼 잘못 일반화하기 때문입니다. 지수함수와 다항함수가 곱해진 형태를 워낙 자주 봐서 무의식적으로 각각 미분하는 습관이 굳어진 경우가 많습니다.

3어떻게 복구하는가

$\dfrac{dy}{dx}=2xe^{-x}+x^2(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x^2)$. $x=1$에서 $y=e^{-1}$, 기울기 $=e^{-1}(2-1)=e^{-1}$. 접선: $y-\dfrac1e=\dfrac1e(x-1)\Rightarrow y=\dfrac{x}{e}$.

4어디로 확장되는가

곱의 미분법을 정확히 적용하는 이 훈련은 뒤에 나올 나눗셈의 미분법(몫의 미분법), 그리고 세 함수 이상이 곱해진 함수를 미분하는 문제로 그대로 확장됩니다.

1어디서 막히는가

몫의 미분법 공식에서 분자의 순서($f'g-fg'$)를 거꾸로 써서 부호가 반대인 도함수를 얻습니다.

2왜 막히는가

곱의 미분법은 순서를 바꿔도 결과가 같지만($f'g+fg'=g'f+gf'$), 몫의 미분법은 뺄셈이라 순서가 바뀌면 완전히 다른 결과가 나온다는 비대칭성을 놓치기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x(x-2)-x^2(1)}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}$. 분자 $=0$: $x=0$ 또는 $x=4$. $y(0)=0$, $y(4)=\dfrac{16}{2}=8$. 정류점: $(0,0)$, $(4,8)$.

4어디로 확장되는가

몫의 미분법에서 순서를 정확히 지키는 이 훈련은 삼각함수의 미분(예: $\tan x=\sin x/\cos x$ 유도), 그리고 유리함수의 그래프 개형을 분석하는 모든 AHL 문제에서 계속 요구됩니다.

1어디서 막히는가

연쇄법칙을 한 번만 적용하고 멈춥니다. $\cos^2(2x)$는 "제곱"과 "$2x$" 두 겹의 합성이라 연쇄법칙을 두 번 적용해야 합니다.

2왜 막히는가

$\cos^2(2x)=[\cos(2x)]^2$을 바깥쪽(제곱)-안쪽($\cos$)-더 안쪽($2x$)의 삼중 합성으로 인식하지 못하고, 단순히 $\cos$ 함수 하나만 미분하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $\dfrac{dy}{dx}=2\cos(2x)\cdot(-\sin(2x))\cdot2=-4\sin(2x)\cos(2x)=-2\sin(4x)$ (배각공식 $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ 사용).

(b) $x=\dfrac{\pi}8$일 때 $4x=\dfrac{\pi}2$. $\dfrac{dy}{dx}=-2\sin\dfrac{\pi}2=-2$.

4어디로 확장되는가

여러 겹의 합성함수를 안쪽부터 차례로 미분하는 이 절차는 매클로린 급수를 구하기 위해 고계도함수를 반복 계산하는 문제(CAL-MAC), 그리고 음함수 미분에서 합성함수 부분을 처리하는 문제로 이어집니다.

1어디서 막히는가

(a)에서 부피 $V=x^2h$까지는 쓰는데, 변수가 두 개($x,h$)인 채로 미분을 시도하다가 막힙니다.

2왜 막히는가

미분은 변수가 하나여야 한다는 걸 알면서도, 겉넓이 조건(300 cm²)을 이용해 $h$를 $x$로 치환해서 변수를 하나로 줄이는 단계를 빠뜨리기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) 겉넓이(뚜껑 없음): $x^2+4xh=300\Rightarrow h=\dfrac{300-x^2}{4x}$. $V=x^2h=x^2\cdot\dfrac{300-x^2}{4x}=\dfrac{300x-x^3}4=75x-\dfrac{x^3}4$.

(b) $\dfrac{dV}{dx}=75-\dfrac34x^2=0\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=10$ ($x>0$). $\dfrac{d^2V}{dx^2}=-\dfrac32x<0$이므로 최댓값. $V(10)=750-250=500\text{ cm}^3$.

4어디로 확장되는가

제약조건으로 변수를 하나로 줄이는 이 절차는 원기둥·원뿔의 겉넓이 최소화 문제, 그리고 관련변화율 문제(CAL-DIF)에서 여러 변수를 하나의 방정식으로 연결하는 첫 단계와 동일한 사고입니다.

1어디서 막히는가

$xy$ 항을 미분할 때 그냥 $y$만 남기거나 $x$만 남겨서, 곱의 미분법을 적용해야 한다는 걸 놓칩니다.

2왜 막히는가

$xy$가 "$x$와 $y$의 곱"이라는 걸 인식하지 못하고 단항식처럼 취급하기 때문입니다. $y$가 $x$의 함수이므로 $xy$를 미분하면 곱의 미분법이 반드시 필요합니다.

3어떻게 복구하는가

양변을 $x$에 대해 미분: $2x+\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)+2y\dfrac{dy}{dx}=0$. $\dfrac{dy}{dx}$ 항을 정리: $\dfrac{dy}{dx}(x+2y)=-(2x+y)$. $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$.

4어디로 확장되는가

$y$를 $x$의 함수로 보고 곱의 미분법·연쇄법칙을 동시에 적용하는 이 기술은 관련변화율 문제(CAL-DIF), 그리고 회전체의 표면적을 음함수로 다루는 AHL 심화 문제에서 그대로 이어집니다.

1어디서 막히는가

$\dfrac{dV}{dt}$와 $\dfrac{dr}{dt}$를 어떻게 연결해야 할지 몰라서, $V$의 공식에 $r=5$를 바로 대입하고 끝내버립니다.

2왜 막히는가

연쇄법칙 $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$이 서로 다른 두 변화율을 잇는 다리라는 걸 떠올리지 못하기 때문입니다. 이게 관련변화율 문제의 핵심 아이디어입니다.

3어떻게 복구하는가

$\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2$. $r=5$에서 $\dfrac{dV}{dr}=100\pi$. $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}\Rightarrow50=100\pi\times\dfrac{dr}{dt}\Rightarrow\dfrac{dr}{dt}=\dfrac1{2\pi}\approx0.159\text{ cm s}^{-1}$.

4어디로 확장되는가

서로 다른 두 변화율을 연쇄법칙으로 잇는 이 아이디어는 사다리가 미끄러지는 문제, 그림자 길이가 변하는 문제 등 모든 관련변화율(related rates) 응용 문제의 공통 뼈대입니다.

1어디서 막히는가

정류점을 찾은 뒤, 그게 최댓값인지 최솟값인지 판단하지 않고 그냥 "정류점입니다"로 끝내버립니다.

2왜 막히는가

$\dfrac{dy}{dx}=0$은 "기울기가 0"이라는 위치 정보일 뿐, 그 점이 산꼭대기(최대)인지 골짜기(최소)인지는 별도로 이계도함수의 부호를 확인해야 알 수 있다는 걸 놓치기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $\dfrac{dy}{dx}=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1,3$. $y(1)=5$, $y(3)=1$. $\dfrac{d^2y}{dx^2}=6x-12$: $x=1$에서 $-6<0$(극대), $x=3$에서 $6>0$(극소). 극대점 $(1,5)$, 극소점 $(3,1)$.

(b) 변곡점은 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=0$: $6x-12=0\Rightarrow x=2$. $y(2)=8-24+18+1=3$. 변곡점 $(2,3)$.

4어디로 확장되는가

이계도함수로 정류점의 성질을 판단하는 이 절차는 사차 이상의 함수의 그래프 개형 문제, 그리고 최적화 문제에서 구한 해가 정말 최댓값(또는 최솟값)인지 검증하는 마지막 단계에서 그대로 다시 쓰입니다.

1어디서 막히는가

접선의 기울기까지 정확히 구하고서도, 그걸 그대로 법선의 기울기로 써버립니다.

2왜 막히는가

"법선"이 접선에 수직인 직선이고, 수직인 두 직선의 기울기는 곱이 $-1$(음의 역수 관계)이라는 걸 별도로 적용해야 한다는 걸 놓치기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

$y=(2x+3)^{1/2}$, $\dfrac{dy}{dx}=(2x+3)^{-1/2}$. $x=3$에서 $y=3$, 접선 기울기 $=\dfrac13$. 법선 기울기 $=-3$(음의 역수). 법선: $y-3=-3(x-3)\Rightarrow y=-3x+12$.

4어디로 확장되는가

접선과 법선의 기울기 관계는 두 곡선이 직교하는 조건을 찾는 문제, 그리고 벡터·기하에서 직선과 평면이 수직인 조건(VG-PLN)과 정확히 같은 "음의 역수/내적 0" 논리로 이어집니다.

1어디서 막히는가

$f'(x)=0$이 되는 $x$값만 구하고, 그 사이 구간에서 실제로 부호가 어떻게 바뀌는지는 확인하지 않고 답을 씁니다.

2왜 막히는가

"감소"라는 조건이 $f'(x)=0$이 아니라 $f'(x)<0$이라는 부등식이라는 걸 놓치기 때문입니다. $f'(x)=0$은 감소 구간의 경계를 찾는 도구일 뿐입니다.

3어떻게 복구하는가

$f'(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$. $f'(x)<0\iff(x-2)(x+1)<0\iff-1

4어디로 확장되는가

도함수의 부호로 원함수의 증감을 판단하는 이 절차는 이계도함수의 부호로 오목·볼록을 판단하는 문제, 그리고 속도의 부호로 물체의 운동 방향을 판단하는 운동학 문제(CAL-KIN)와 정확히 같은 논리입니다.

1어디서 막히는가

적분 구간을 어디서부터 어디까지 잡아야 할지 몰라서, 임의로 $x=-2$에서 $2$까지(곡선의 $x$절편)로 적분해버립니다.

2왜 막히는가

넓이의 경계는 "곡선이 $x$축과 만나는 곳"이 아니라 "곡선과 직선이 서로 만나는 곳"이라는 걸 놓치기 때문입니다. 두 그래프의 교점을 먼저 구해야 적분 구간이 정해집니다.

3어떻게 복구하는가

교점: $4-x^2=1\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm\sqrt3$. 넓이 $=\displaystyle\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\bigl[(4-x^2)-1\bigr]dx=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(3-x^2)dx=\left[3x-\dfrac{x^3}3\right]_{-\sqrt3}^{\sqrt3}=4\sqrt3$.

4어디로 확장되는가

"먼저 교점을 구해 적분 구간을 정하는" 이 절차는 두 곡선 사이의 넓이를 구하는 모든 문제, 그리고 그 영역을 회전시켜 부피를 구하는 문제(CAL-VOL)의 필수 준비 단계입니다.

1어디서 막히는가

$(x^2+1)^4$를 전부 전개해서 5차 다항식으로 만든 다음 항별로 적분하려고 시도합니다. 계산량이 엄청나게 늘어납니다.

2왜 막히는가

앞에 붙은 $2x$가 $(x^2+1)$의 도함수라는 걸 알아채지 못하기 때문입니다. 이 패턴("안쪽 함수의 도함수가 앞에 곱해진 형태")이 치환적분의 신호입니다.

3어떻게 복구하는가

$u=x^2+1$로 치환하면 $du=2x\,dx$. 적분은 $\displaystyle\int u^4\,du=\dfrac{u^5}5+C=\dfrac{(x^2+1)^5}5+C$.

4어디로 확장되는가

"앞에 곱해진 항이 안쪽 함수의 도함수"라는 이 패턴 인식은 삼각함수·지수함수가 낀 치환적분, 그리고 부분분수로 쪼갠 뒤 각 항을 적분하는 문제(FN-RAT)에서 계속 요구되는 핵심 감각입니다.

1어디서 막히는가

부정적분까지는 구하고, 적분상수 $C$를 그냥 $0$으로 두거나 빠뜨린 채 답을 제출합니다.

2왜 막히는가

부정적분은 무수히 많은 함수(수직으로 평행이동한 곡선들의 모음)를 나타낸다는 걸 잊고, "적분하면 원래 함수가 하나로 딱 정해진다"고 착각하기 때문입니다. 점 하나가 주어져야 그중 하나로 특정됩니다.

3어떻게 복구하는가

$f(x)=\displaystyle\int(6x^2-4x+3)dx=2x^3-2x^2+3x+C$. 점 $(1,5)$ 대입: $2-2+3+C=5\Rightarrow C=2$. $f(x)=2x^3-2x^2+3x+2$.

4어디로 확장되는가

초기조건으로 적분상수를 확정하는 이 절차는 미분방정식의 일반해에서 특수해를 구하는 문제(CAL-DEQ), 그리고 운동학에서 속도로부터 변위 함수를 구하는 문제(CAL-KIN)의 표준 마무리 단계입니다.

1어디서 막히는가

$y$와 $x$가 우변에 섞여 있는 걸 보고, 양변을 어떻게 분리해야 각각 $x$만, $y$만 남는 형태로 만들 수 있는지 몰라 멈춥니다.

2왜 막히는가

우변이 "$x$에 관한 식"과 "$y$에 관한 식"의 곱(변수분리형)이라는 구조를 알아채지 못하기 때문입니다. $\dfrac{2xy}{x^2+1}=y\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}$로 보면 분리가 가능해집니다.

3어떻게 복구하는가

변수분리: $\dfrac{dy}y=\dfrac{2x}{x^2+1}dx$. 양변 적분: $\ln|y|=\ln(x^2+1)+C$. $x=0,y=3$ 대입: $\ln3=0+C\Rightarrow C=\ln3$. $\ln y=\ln\bigl[3(x^2+1)\bigr]\Rightarrow y=3x^2+3$.

4어디로 확장되는가

변수분리 가능한 형태를 알아보는 이 눈은 뉴턴의 냉각법칙, 인구 성장 모델 같은 실생활 미분방정식 문제의 첫 단계이고, 분리가 안 되는 경우(적분인자가 필요한 일차 선형 미분방정식)와의 구분점이기도 합니다.

1어디서 막히는가

변수분리를 시도하다가, $y$와 $\dfrac{dy}{dx}$가 각각 다른 항에 따로 있어서(더해진 형태) 도저히 분리가 안 된다는 걸 깨닫고 막힙니다.

2왜 막히는가

이 방정식은 애초에 변수분리형이 아니라 일차 선형 미분방정식이고, 적분인자(integrating factor) $e^{\int2\,dx}=e^{2x}$를 양변에 곱해야 왼쪽이 곱의 미분법의 결과($\frac{d}{dx}(e^{2x}y)$)로 깔끔하게 묶인다는 걸 모르기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

적분인자 $e^{2x}$를 양변에 곱하면 $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)=e^{2x}\cdot e^{-x}=e^x$. 양변 적분: $e^{2x}y=e^x+C$. $y=e^{-x}+Ce^{-2x}$. $x=0,y=1$: $1=1+C\Rightarrow C=0$. $y=e^{-x}$.

4어디로 확장되는가

적분인자를 곱해 좌변을 "곱의 미분법의 역과정"으로 묶는 이 기술은 모든 일차 선형 미분방정식의 표준 해법이고, 저항이 있는 회로·약물 농도 감소 모델 같은 실생활 문제에서 형태만 바뀌어 반복됩니다.

1어디서 막히는가

(a)에서 "비례한다"는 말을 $\dfrac{dT}{dt}=k(T-20)$처럼 음의 부호 없이 세웁니다. 그러면 온도가 시간이 지날수록 오히려 증가하는 방정식이 되어버립니다.

2왜 막히는가

물체는 식고 있으므로 $T>20$인 동안 $T$는 감소해야 하는데, 이 물리적 사실을 부호로 반영해야 한다는 걸 놓치기 때문입니다. "비례상수"와 "실제 변화 방향"은 별개의 정보입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) 냉각이므로 $\dfrac{dT}{dt}=-k(T-20)$ ($k>0$). 변수분리: $\dfrac{dT}{T-20}=-k\,dt\Rightarrow\ln|T-20|=-kt+C\Rightarrow T-20=Ae^{-kt}$. $t=0,T=90$: $A=70$. $T=20+70e^{-kt}$.

(b) $t=5,T=60$: $60=20+70e^{-5k}\Rightarrow e^{-5k}=\dfrac47\Rightarrow k=\dfrac{\ln(7/4)}5\approx0.112$.

(c) $t=10$: $e^{-10k}=(e^{-5k})^2=\left(\dfrac47\right)^2=\dfrac{16}{49}$. $T=20+70\times\dfrac{16}{49}\approx42.9°C$.

4어디로 확장되는가

"비례 관계를 부호까지 정확히 반영해 미분방정식을 세우는" 이 능력은 방사성 붕괴, 인구 성장·감소 모델을 세우는 모든 응용 문제의 출발점이고, 세운 식을 실제로 푸는 기술은 CAL-DEQ-1의 변수분리로 이어집니다.

1어디서 막히는가

$f'''(0)$까지 구해놓고, 이 값을 계수로 바로 쓰지 않고 $x^3$ 항 앞에 그대로 갖다 붙여서 계승(factorial)으로 나누는 걸 빠뜨립니다.

2왜 막히는가

매클로린 급수의 각 항이 $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ 형태라는 걸 절반만 기억하고, $n!$로 나누는 부분을 놓치기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

$f(0)=0$, $f'(x)=\dfrac1{1+x}\Rightarrow f'(0)=1$, $f''(x)=-\dfrac1{(1+x)^2}\Rightarrow f''(0)=-1$, $f'''(x)=\dfrac2{(1+x)^3}\Rightarrow f'''(0)=2$. $f(x)\approx0+1\cdot x+\dfrac{-1}{2!}x^2+\dfrac2{3!}x^3=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3$.

4어디로 확장되는가

고계도함수를 계승으로 나누어 계수를 얻는 이 절차는 $e^x,\sin x,\cos x$ 같은 표준 매클로린 급수를 유도하는 모든 문제, 그리고 그 급수를 이용해 극한을 계산하는 문제(CAL-MAC)로 이어집니다.

1어디서 막히는가

분자·분모가 둘 다 $0$으로 가는 걸 보고 극한이 존재하지 않는다고 결론짓거나, 대수적으로 어떻게 접근해야 할지 몰라 멈춥니다.

2왜 막히는가

급수를 직접 대입해서 분자를 다항식으로 바꾸면 $0/0$ 형태가 저절로 해소된다는 걸 떠올리지 못하기 때문입니다. 급수 전개는 로피탈 정리 없이 이런 극한을 처리하는 IB식 표준 도구입니다.

3어떻게 복구하는가

$\sin x-x\cos x\approx\left(x-\dfrac{x^3}6\right)-x\left(1-\dfrac{x^2}2\right)=x-\dfrac{x^3}6-x+\dfrac{x^3}2=x^3\left(\dfrac12-\dfrac16\right)=\dfrac{x^3}3$. 따라서 $\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^3}\approx\dfrac13$ (고차항은 $x\to0$에서 소멸). 극한 $=\dfrac13$.

4어디로 확장되는가

급수로 $0/0$ 극한을 대수적으로 해소하는 이 기법은 $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ 같은 다른 부정형 극한 문제, 그리고 근사식으로 물리적 모델을 단순화하는 응용 문제에서 표준 도구로 반복됩니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 그냥 $s(4)-s(0)$을 계산해서 "이동거리"로 제출합니다.

2왜 막히는가

변위(displacement)와 거리(distance)가 다른 개념이라는 걸 놓치기 때문입니다. 입자가 중간에 방향을 바꾸면, 갔다가 돌아온 만큼도 "거리"에는 더해져야 하는데 변위는 그걸 상쇄시켜 버립니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $v(t)=3t^2-12t+9$, $a(t)=6t-12$.

(b) $v(t)=0$: $3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1,3$ — 이 시각들에 방향이 바뀝니다.

(c) $s(0)=0,\ s(1)=4,\ s(3)=0,\ s(4)=4$. 각 구간의 이동거리를 절댓값으로 더합니다: $|4-0|+|0-4|+|4-0|=4+4+4=12$m. (변위는 $s(4)-s(0)=4$m로 다른 값입니다.)

4어디로 확장되는가

변위와 거리를 구분하는 이 감각은 벡터의 크기(속력)와 벡터 자체(속도)를 구분하는 문제, 그리고 정적분이 "부호 있는 넓이"라서 곡선이 $x$축 아래로 갈 때 절댓값을 취해야 하는 넓이 문제(CAL-INT)와 똑같은 구조입니다.

1어디서 막히는가

$x=3$을 그대로 대입해서 $0/0$이 나오면, 극한이 존재하지 않는다고 결론짓고 멈춥니다.

2왜 막히는가

$0/0$은 "극한이 없다"가 아니라 "분자·분모에 공통인수가 있어서 약분하면 사라진다"는 신호라는 걸 모르기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

분자 $=(x-3)(x+1)$, 분모 $=(x-3)(x+3)$. $x\to3$이므로 $x\neq3$이라 $(x-3)$으로 약분 가능: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x+1}{x+3}=\dfrac46=\dfrac23$.

4어디로 확장되는가

공통인수를 약분해 $0/0$을 해소하는 이 기본기는 미분의 정의(극한을 이용한 도함수 유도)의 핵심이고, 더 복잡한 극한에서는 이 인수분해 대신 매클로린 급수(CAL-MAC)를 쓰는 것으로 발전합니다.

1어디서 막히는가

회전체 부피 공식 $V=\pi\displaystyle\int y^2\,dx$에서 $y^2$ 대신 $y$를 그대로 적분해버립니다.

2왜 막히는가

회전으로 생기는 단면이 반지름 $y$인 원이고, 원의 넓이가 $\pi r^2=\pi y^2$이라는 기하학적 근거를 잊고 공식을 "$\pi\int y\,dx$"로 잘못 암기하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

$y=\sqrt x\Rightarrow y^2=x$. $V=\pi\displaystyle\int_0^4x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^4=\pi(8)=8\pi$.

4어디로 확장되는가

"단면은 원이고 그 넓이가 $\pi y^2$"이라는 기하적 근거를 기억해두면, $x$축이 아닌 $y$축 회전(공식이 $\pi\int x^2\,dy$로 바뀌는 경우)이나 두 곡선 사이 영역의 회전(고리 모양 단면, 와셔법)으로도 실수 없이 확장할 수 있습니다.