Functions

1어디서 막히는가

(a)에서 최댓값을 구하려고 미분부터 하려는 학생이 많습니다. 이건 Calculus 없이 이차함수의 꼭짓점 공식만으로 끝나는 문제입니다.

2왜 막히는가

"최댓값"이라는 단어를 보자마자 도함수를 떠올리는 조건반사 때문입니다. 실라버스 순서상 이차함수 단원에서는 미분 없이 $t=-\dfrac{b}{2a}$ 공식으로 꼭짓점을 구하는 게 의도된 경로입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $t=-\dfrac{19.6}{2(-4.9)}=2$. $h(2)=-4.9(4)+19.6(2)+1.2=20.8$m.

(b) $-4.9t^2+19.6t+1.2=0$을 근의 공식으로 풀면 $t=\dfrac{-19.6\pm\sqrt{19.6^2-4(-4.9)(1.2)}}{2(-4.9)}$. 음수 시간은 기각하고 $t\approx4.06$초.

4어디로 확장되는가

미분 없이 꼭짓점 공식으로 최적화를 끝내는 이 판단은, 뒤에서 배울 Calculus의 미분 최적화 문제와 정확히 대비됩니다 — "미분이 필요한 최적화"와 "필요 없는 최적화"를 구분하는 감각이 여기서 시작됩니다.

1어디서 막히는가

"근을 구하지 말고"라는 지시를 무시하고 근의 공식부터 풀어버리는 경우가 많습니다. 답은 맞을 수 있어도 시간을 크게 낭비합니다.

2왜 막히는가

$\alpha^2+\beta^2$을 $\alpha+\beta$와 $\alpha\beta$만으로 표현할 수 있다는 대수적 항등식 $(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$을 즉시 떠올리지 못하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $\alpha+\beta=\dfrac52$, $\alpha\beta=\dfrac12$.

(b) $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\dfrac{25}{4}-1=\dfrac{21}{4}$.

(c) 새 방정식의 두 근 $\alpha^2,\beta^2$의 합은 $\dfrac{21}{4}$, 곱은 $(\alpha\beta)^2=\dfrac14$. 따라서 $x^2-\dfrac{21}{4}x+\dfrac14=0$, 정수계수로 바꾸면 $4x^2-21x+1=0$.

4어디로 확장되는가

근을 몰라도 근의 합·곱만으로 새로운 관계식을 만드는 이 기술은 삼차·사차방정식의 근과 계수(AHL), 그리고 복소수 방정식의 근 관계 문제로 그대로 확장됩니다.

1어디서 막히는가

바로 판별식 $<0$ 조건 하나만 걸고 답을 냅니다. $k=0$인 경우를 아예 검토하지 않고 지나갑니다.

2왜 막히는가

"이차식"이라는 말에 $k\neq0$을 당연하다고 가정해버리기 때문입니다. 하지만 $k=0$이면 식 자체가 일차식으로 바뀌어 버려서, "모든 $x$에 대해 양수"라는 조건이 성립할 수 없습니다(일차식은 항상 부호가 바뀝니다).

3어떻게 복구하는가

$k=0$이면 $-2x+1$로 일차식이 되어 항상 양수일 수 없으므로 기각합니다. $k\neq0$일 때는 위로 볼록하지 않아야 하므로 $k>0$, 그리고 실근이 없어야 하므로 판별식 $(k-2)^2-4k<0 \iff k^2-8k+4<0$. 근의 공식으로 $k=4\pm2\sqrt3$이므로 $4-2\sqrt30$이라 $k>0$ 조건과 자동으로 양립합니다.

4어디로 확장되는가

계수에 미지수가 있을 때 "차수가 낮아지는 특수한 경우"를 먼저 따로 검토하는 습관은 이항정리·지수방정식의 매개변수 문제, 그리고 벡터·기하의 퇴화 조건(예: 평면이 되지 않는 경우) 문제에서 반복해서 요구됩니다.

1어디서 막히는가

이윤 함수가 두 지점에서 $0$이 된다는 걸 이상하게 여기고, 계산 실수라고 생각해서 다시 풀다가 시간을 낭비합니다.

2왜 막히는가

이윤이 위로 볼록한 이차함수라는 걸 그래프로 그려보지 않고 숫자로만 접근하기 때문입니다. 생산량이 너무 적으면 고정비를 못 메워서 손해, 너무 많아도 (이 모델에서는) 손해라는 경제적 의미를 놓칩니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $-3x^2+42x-135=0 \Rightarrow x^2-14x+45=0 \Rightarrow (x-5)(x-9)=0$. $x=5$ 또는 $x=9$, 즉 500개·900개.

(b) 꼭짓점 $x=-\dfrac{42}{2(-3)}=7$. $P(7)=-3(49)+42(7)-135=12$. 최대 이윤 $\$12{,}000$, 700개 판매 시.

4어디로 확장되는가

인수분해로 두 근을 먼저 찾고 그 중점에서 꼭짓점을 확인하는 이 접근은, 근을 몰라도 미분으로 최적점을 찾는 Calculus의 이윤 최적화 문제로 그대로 이어집니다.

1어디서 막히는가

세 점을 대입해 세 개의 식은 만드는데, 미지수가 3개인 연립방정식을 손으로 풀다가 소거 순서가 꼬여서 부호 실수를 합니다.

2왜 막히는가

세 식을 동시에 붙잡고 풀려고 하기 때문입니다. 두 식씩 짝지어 한 변수를 먼저 소거하는 순서를 정하지 않으면 계산이 기하급수적으로 복잡해집니다.

3어떻게 복구하는가

대입하면 $a+b+c=4$, $a-b+c=8$, $4a+2b+c=5$. 첫 두 식을 빼면 $2b=-4 \Rightarrow b=-2$. 첫째 식에 대입: $a+c=6$. 셋째 식에 $b=-2$ 대입: $4a+c=9$. 두 식을 빼면 $3a=3 \Rightarrow a=1$, $c=5$.

4어디로 확장되는가

두 식씩 짝지어 순서대로 소거하는 이 전략은 3변수 연립방정식이 나오는 모든 문제 — 벡터·기하의 평면 방정식 결정, Number and Algebra의 연립방정식 문제 — 에서 똑같이 통합니다.

1어디서 막히는가

양변에 $(x-1)(x+2)$를 곱해 분모를 없애는 것까지는 잘 하는데, 정작 그 곱해서 없앤 값이 $0$이 되는 $x$를 마지막에 다시 제외하는 걸 잊어버립니다.

2왜 막히는가

분모를 통분해서 없애는 순간 원래 식의 "정의되지 않는 지점"이라는 정보가 새 식(다항식)에는 남아있지 않기 때문입니다. 제외 조건은 별도로 기억해둬야 합니다.

3어떻게 복구하는가

$x\neq1,\ x\neq-2$를 먼저 적어둡니다. $(x-1)(x+2)$를 곱하면 $2(x+2)-(x-1)=(x-1)(x+2)$, 즉 $x+5=x^2+x-2$, 정리하면 $x^2=7$. 따라서 $x=\pm\sqrt7$이고, 이 값은 제외 조건과 겹치지 않으므로 그대로 답이 됩니다.

4어디로 확장되는가

제외 조건을 별도로 챙기는 이 습관은 로그방정식(진수 조건), 역삼각함수 방정식(정의역 조건)의 "여분해" 판별 문제에서 형태만 바뀌어 계속 요구됩니다.

1어디서 막히는가

주어진 함수를 분석하는 문제에는 익숙한데, 거꾸로 "특징에서 함수를 조립"하는 방향은 낯설어서 어디서부터 손대야 할지 몰라 멈춥니다.

2왜 막히는가

점근선 각각이 계수 하나씩을 직접 결정한다는 대응 관계를 모르기 때문입니다 — 세 조건(수직점근선·수평점근선·통과점)이 곧 세 미지수 $a,b,c$ 각각에 대응됩니다.

3어떻게 복구하는가

수직점근선 $x=-2$는 분모가 $0$이 되는 지점이므로 $c=2$. 수평점근선 $y=3$은 $x\to\infty$일 때의 극한이므로 $a=3$. 점 $(0,1)$을 대입하면 $\dfrac{b}{c}=1\Rightarrow b=c=2$. 따라서 $y=\dfrac{3x+2}{x+2}$.

4어디로 확장되는가

특징에서 거꾸로 함수를 조립하는 이 역방향 사고는 삼각함수의 그래프에서 진폭·주기·이동량을 보고 식을 세우는 문제, 지수함수의 점근선·초기값에서 식을 세우는 문제로 그대로 이어집니다.

1어디서 막히는가

계산은 정확히 해내고도, "further value"라는 표현을 보고 원래 제외값 $x=-1$을 다시 쓰는 데 그칩니다. 새로 생기는 제외값을 못 찾습니다.

2왜 막히는가

합성함수 $f(f(x))$가 정의되려면 안쪽 $f(x)$의 결과값이 바깥쪽 $f$의 정의역(즉 $\neq-1$)에 들어와야 한다는 이중 조건을 생각하지 못하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

$f(f(x))=\dfrac{\frac{x-1}{x+1}-1}{\frac{x-1}{x+1}+1}=\dfrac{\frac{-2}{x+1}}{\frac{2x}{x+1}}=-\dfrac1x$. 이 결과가 정의되려면 원래 $f(x)\neq-1$도 필요합니다: $\dfrac{x-1}{x+1}=-1\Rightarrow x-1=-x-1\Rightarrow x=0$. 따라서 $x=0$도 추가로 제외해야 합니다.

4어디로 확장되는가

합성함수의 정의역이 바깥 함수 하나만 보고 정해지지 않는다는 이 통찰은 역함수의 존재 조건, 그리고 로그·역삼각함수가 합성된 함수의 정의역을 구하는 모든 문제에서 반복됩니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 "Hence"를 무시하고, (a)의 부분분수 결과를 전혀 안 쓴 채 원래 식으로 처음부터 다시 부호 분석을 시작합니다.

2왜 막히는가

부분분수가 부등식 풀이에 어떻게 도움이 되는지 연결 짓지 못하기 때문입니다. 사실 최종 부호 분석은 원래 식 그대로 해도 되지만, "Hence"는 채점자에게 (a)의 결과를 근거로 썼다는 걸 보여야 한다는 신호입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $5x+1=A(2x+1)+B(x-1)$. $x=1$: $6=3A\Rightarrow A=2$. $x=-\frac12$: $-\frac32=-\frac32B\Rightarrow B=1$. 따라서 $\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{2x+1}$.

(b) 임계점은 $x=-\frac12,\ -\frac15,\ 1$ (분모 $0$ 두 곳과 분자 $0$인 곳). 부호표를 그리면 $-\frac121$에서 양수.

4어디로 확장되는가

부분분수는 이 문제처럼 대수적 정리뿐 아니라, AHL 이항급수의 전개, 그리고 Calculus의 유리함수 적분(치환 없이 바로 적분 가능한 형태로 쪼개는 것)에서 핵심 준비 단계로 반복 사용됩니다.

1어디서 막히는가

(a) 공식은 잘 구하지만, (b)에서 $f^{-1}$의 정의역을 그냥 "모든 실수"라고 답하거나, $x>1$을 그대로 옮겨 적는 실수를 합니다.

2왜 막히는가

$f^{-1}$의 정의역은 $f$의 치역과 같다는 관계를 잊고, $f$의 정의역($x>1$)과 혼동하기 때문입니다. 치역을 구하려면 $f$가 그 구간에서 어떻게 움직이는지 분석해야 합니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $y=\dfrac{2x+3}{x-1}\Rightarrow y(x-1)=2x+3\Rightarrow x(y-2)=y+3\Rightarrow x=\dfrac{y+3}{y-2}$. $f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{x-2}$.

(b) $f(x)=2+\dfrac{5}{x-1}$로 다시 쓰면, $x>1$에서 $\dfrac5{x-1}$은 $+\infty$(x→1+)에서 $0$(x→∞)까지 감소하므로 $f$의 치역은 $y>2$. 따라서 $f^{-1}$의 정의역은 $x>2$, 치역은 $f$의 정의역과 같은 $y>1$.

4어디로 확장되는가

"정의역·치역이 서로 맞바뀐다"는 역함수의 이 성질은 삼각함수의 역함수(arcsin, arccos 등)의 정의역·치역을 정하는 문제, 그리고 복소수 극형식에서 편각의 주요값을 정하는 문제와 같은 논리 구조를 공유합니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 "$y=8$"이라는 방정식은 쓰는데, 그게 이 상황에서 실제로 무엇을 의미하는지 문장으로 설명하지 못해 감점됩니다.

2왜 막히는가

점근선을 순수하게 그래프 위의 기하학적 특징으로만 배워서, 실제 맥락(생산량이 커질 때 평균비용이 어떤 값에 가까워지는가)으로 번역하는 연습이 부족하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $A(x)=\dfrac{500+8x}{x}=8+\dfrac{500}{x}$, $k=500$.

(b) 수평점근선 $y=8$. 생산량이 매우 많아지면 고정비 500달러가 개당 비용에 미치는 영향이 사라지고, 평균비용은 개당 변동비인 8달러에 한없이 가까워집니다.

(c) $8+\dfrac{500}{x}<8.5 \Rightarrow \dfrac{500}{x}<0.5 \Rightarrow x>1000$ ($x>0$이므로 부호 반전 없음). 정수 개수이므로 최소 $1001$개.

4어디로 확장되는가

점근선을 "장기적으로 수렴하는 값"으로 해석하는 이 능력은 인구·박테리아 성장 모델의 수용력(carrying capacity), 그리고 Calculus의 극한 문제에서 그래프 없이 식만 보고 장기적 행동을 판단할 때 그대로 쓰입니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 삼차식을 처음부터 다시 인수분해하려고 시도합니다. $(x-3)$이 이미 인수라는 (a)의 정보를 활용하지 않습니다.

2왜 막히는가

인수정리(factor theorem)로 $k$를 구하는 것과, 그 결과로 다항식 나눗셈이 가능해진다는 것을 별개의 두 문제로 여기기 때문입니다. (a)의 결과는 (b)를 푸는 도구입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $p(3)=27-18-15+k=0\Rightarrow k=6$.

(b) $p(x)=x^3-2x^2-5x+6$을 $(x-3)$으로 조립제법(synthetic division) 하면 몫은 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. 따라서 $p(x)=(x-3)(x+2)(x-1)$.

4어디로 확장되는가

인수 하나를 찾은 뒤 조립제법으로 차수를 낮추는 이 절차는, 사차 이상의 고차 다항방정식을 푸는 모든 문제와 복소근을 포함한 다항식 분해(NA-CPX) 문제의 표준 시작점입니다.

1어디서 막히는가

근과 계수의 관계로 근의 합·곱을 세우고 나서, 미지수 세 개(세 근)에 방정식이 두 개뿐이라 못 푼다고 포기합니다.

2왜 막히는가

"양의 정수"라는 조건을 그냥 부가 정보로 흘려보고, 이걸 세 번째 방정식 대신 쓸 수 있는 결정적 단서로 보지 못하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

근과 계수: 세 근의 합 $=6$, 곱 $=6$. 합이 $6$, 곱이 $6$인 양의 정수 세 개를 찾으면 $\{1,2,3\}$이 유일합니다($1+2+3=6$, $1\times2\times3=6$). 여기서 $2=2\times1$이므로 "한 근이 다른 근의 두 배"라는 조건도 만족합니다. $k$는 두 근씩 곱한 합이므로 $k=1(2)+1(3)+2(3)=2+3+6=11$.

4어디로 확장되는가

근과 계수의 관계에 정수 조건을 더해 시행착오로 근을 특정하는 이 전략은, 복소수 방정식의 정수 계수 조건 문제와 정수론이 섞인 조합 문제에서 반복해서 쓰이는 강력한 도구입니다.

1어디서 막히는가

나머지정리 자체는 알지만, 두 조건을 각각 따로 처리하다가 두 개의 미지수를 하나의 연립방정식으로 묶어야 한다는 걸 놓칩니다.

2왜 막히는가

나머지정리 문제를 "값 하나 구하기"로만 연습해봐서, 미지수가 두 개인 상황에서 두 조건을 동시에 활용해야 한다는 확장을 낯설어합니다.

3어떻게 복구하는가

$p(1)=1+a+b-4=-6\Rightarrow a+b=-3$. $p(-2)=-8+4a-2b-4=18\Rightarrow 4a-2b=30\Rightarrow2a-b=15$. 두 식을 더하면(연립) $b=-3-a$를 대입해 $2a-(-3-a)=15\Rightarrow3a=12\Rightarrow a=4,\ b=-7$.

4어디로 확장되는가

나머지정리로 얻은 조건을 연립방정식으로 묶는 이 기술은 미지수가 3개 이상인 고차 다항식 결정 문제, 그리고 두 조건에서 두 매개변수를 동시에 구하는 벡터·기하 문제와 같은 논리 구조입니다.

1어디서 막히는가

일차식으로 나누는 조립제법에만 익숙해서, 이차식으로 나누는 긴 나눗셈(long division) 앞에서 어떤 절차를 써야 할지 몰라 멈춥니다.

2왜 막히는가

조립제법은 일차식 제수 전용 도구라는 걸 모르고 억지로 적용하려 하기 때문입니다. 이차식으로 나눌 때는 다항식 긴 나눗셈으로 돌아가야 합니다.

3어떻게 복구하는가

최고차항끼리 나눠 몫의 각 항을 하나씩 결정합니다: $x^4\div x^2=x^2$, 빼면 $-2x^3+4x^2+5x-1$; $-2x^3\div x^2=-2x$, 빼면 $2x^2+x-1$; $2x^2\div x^2=2$, 빼면 $3x+3$(차수가 나눗수보다 낮아 종료). $q(x)=x^2-2x+2$, $r(x)=3x+3$.

4어디로 확장되는가

이차식 이상으로 나누는 긴 나눗셈은 부분분수의 분모가 인수분해 안 되는 이차식일 때, 그리고 Calculus에서 가분수 형태의 유리함수를 적분하기 전 다항식 부분을 분리할 때 그대로 다시 쓰입니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 $x=2$를 경계로 부호가 바뀐다고 착각해서, $-1\le x\le2$와 $2\le x\le4$를 서로 다른 부호의 구간으로 잘못 나눕니다.

2왜 막히는가

모든 근을 "부호가 바뀌는 지점"이라고 뭉뚱그려 생각하기 때문입니다. $(x-2)^2$처럼 짝수 번 반복되는 인수는 그 지점에서 그래프가 $x$축에 닿기만 하고 부호를 바꾸지 않습니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $x$절편은 $-1,\ 2,\ 4$. $(x-2)^2$은 짝수 중복도(2)이므로 $x=2$에서 접합니다(닿고 부호 유지).

(b)/(c) 최고차항이 $x^4$ 꼴(짝수차수, 양의 계수)이라 양 끝은 $+\infty$. 부호표: $x<-1$에서 양수, $-14$에서 양수. 따라서 $f(x)\le0 \iff -1\le x\le4$.

4어디로 확장되는가

중복도가 부호 변화 여부를 결정한다는 이 통찰은 삼차함수의 변곡점·극값 개수를 근의 중복도로 판단하는 문제, 그리고 Calculus에서 $f'(x)$의 부호로 $f$의 증감을 판단할 때(짝수차 인수는 극값을 만들지 않음) 똑같이 적용됩니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 (b)까지 구한 $(f\circ g)(x)$는 있는데, $(g\circ f)(x)$는 일반식으로 다시 구해야 한다는 걸 깜빡하고 (a)에서 구한 숫자값 하나로 방정식을 세우려 합니다.

2왜 막히는가

(a)는 특정 값 $x=2$에서의 계산이고 (c)는 일반적인 $x$에 대한 방정식이라는 차이를 구분하지 못하기 때문입니다. (a)는 검산용 특수 사례일 뿐입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $f(2)=3,\ g(3)=12$.

(b) $f(g(x))=2(x^2+3)-1=2x^2+5$.

(c) $g(f(x))=(2x-1)^2+3=4x^2-4x+4$. $2x^2+5=4x^2-4x+4\Rightarrow2x^2-4x-1=0\Rightarrow x=1\pm\dfrac{\sqrt6}{2}$.

4어디로 확장되는가

두 합성함수를 각각 일반식으로 세운 뒤 방정식으로 묶는 이 절차는, 두 변환의 결과가 같아지는 지점을 찾는 그래프 변환 문제, 그리고 두 개의 매개변수 곡선이 만나는 점을 찾는 벡터·기하 문제에서 같은 구조로 반복됩니다.

1어디서 막히는가

(c)를 "당연히 성립하니까 대충 넘어가도 되는 확인 절차"로 여기고, 실제로 $g^{-1}\circ f^{-1}$을 계산해서 (b)의 답과 비교하는 과정을 생략합니다.

2왜 막히는가

"Show that"는 결과가 이미 알려진 정리라도 반드시 그 경로를 직접 계산으로 보여야 한다는 지시체라는 걸 놓치기 때문입니다. 정리를 안다고 계산을 생략하면 감점됩니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{3}$, $g^{-1}(x)=x^2+1$ ($x\ge0$).

(b) $(f\circ g)(x)=3\sqrt{x-1}+2$. 역함수: $y=3\sqrt{x-1}+2\Rightarrow x=\left(\dfrac{y-2}{3}\right)^2+1$이므로 $(f\circ g)^{-1}(x)=\left(\dfrac{x-2}{3}\right)^2+1$.

(c) $g^{-1}(f^{-1}(x))=g^{-1}\left(\dfrac{x-2}{3}\right)=\left(\dfrac{x-2}{3}\right)^2+1$ — (b)의 결과와 정확히 일치합니다.

4어디로 확장되는가

"합성의 역은 역의 순서를 뒤집은 합성"이라는 이 정리 $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$은 행렬의 곱의 역행렬 성질과 정확히 같은 논리 구조이고, AHL 벡터·행렬 단원에서 이 형태 그대로 다시 등장합니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 변환을 말로는 정확히 설명하고서도, $f(x-3)$을 계산할 때 $x^2-3$처럼 상수를 밖에서 빼는 실수를 합니다.

2왜 막히는가

"$x$가 $3$만큼 이동"이라는 서술적 이해와, 실제로 함수 안의 모든 $x$를 $(x-3)$으로 치환해야 한다는 대수적 조작이 따로 논다는 것 — 즉 개념과 계산을 연결하지 못하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $x$축 방향으로 $3$만큼 평행이동 → $y$축 방향으로 배율 $2$ 확대 → $x$축에 대해 대칭이동 → $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동.

(b) $f(x-3)=(x-3)^2=x^2-6x+9$. $-2f(x-3)=-2x^2+12x-18$. $+1$: $-2x^2+12x-17$. 따라서 $a=-2,\ b=12,\ c=-17$.

4어디로 확장되는가

"말로 된 변환을 대수식으로 정확히 옮기는" 이 능력은 삼각함수의 진폭·주기·위상이동 문제, 지수함수의 그래프 변환 문제에서 형태만 바뀌어 계속 요구됩니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 $e^{0.15t}=5$까지는 세우고, 이걸 로그로 넘기는 과정에서 $t=\ln5/0.15$ 대신 $t=\ln(5/0.15)$처럼 나눗셈의 위치를 잘못 잡습니다.

2왜 막히는가

$0.15t$ 전체가 지수라는 걸 로그를 취한 뒤에도 하나의 덩어리로 계속 추적하지 못하기 때문입니다. $\ln(e^{0.15t})=0.15t$이지 $\ln(e^{0.15})\times t$가 아닙니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $P(0)=200$.

(b) $P(10)=200e^{1.5}\approx896$.

(c) $200e^{0.15t}=1000\Rightarrow e^{0.15t}=5\Rightarrow0.15t=\ln5\Rightarrow t=\dfrac{\ln5}{0.15}\approx10.73$시간.

4어디로 확장되는가

지수 전체를 하나의 덩어리로 추적하는 이 습관은 복리 계산, 방사성 붕괴 반감기 문제, 그리고 Calculus의 지수함수 미분·적분 문제에서 형태를 바꿔가며 계속 요구됩니다.