Number and Algebra

1어디서 막히는가

(b)에서 부등식 $16\bigl(1-(1/4)^n\bigr) > 15.9$를 로그로 넘기다가, 양변을 $\ln(1/4)$처럼 음수인 값으로 나누면서 부등호 방향을 그대로 두는 실수가 가장 흔합니다.

2왜 막히는가

$\ln(1/4)$는 음수입니다. 부등식의 양변을 음수로 나누면 부등호 방향이 반드시 뒤집혀야 하는데, 지수방정식 풀이에 익숙해진 손이 기계적으로 로그부터 취하고 넘어가면서 이 부분을 놓칩니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $S_\infty=\dfrac{u_1}{1-r}$에 대입하면 $16=\dfrac{12}{1-r}$, $1-r=\dfrac34$, $r=\dfrac14$.

(b) $S_n=16\bigl(1-(1/4)^n\bigr)$이므로 $16\bigl(1-(1/4)^n\bigr)>15.9 \iff (1/4)^n < 0.00625$. 양변에 로그를 취하면 $n\ln(1/4) < \ln(0.00625)$이고 $\ln(1/4)<0$이므로 부등호를 뒤집어 $n > \dfrac{\ln(0.00625)}{\ln(1/4)} \approx 3.66$. 정수 조건을 적용하면 $n=4$.

4어디로 확장되는가

이 부등호 반전은 로그방정식뿐 아니라 $|r|<1$ 조건으로 수렴을 증명하는 모든 무한급수 문제, 그리고 지수함수의 감소 구간에서 부등식을 다루는 Calculus 문제로 그대로 이어집니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 $S_n$이 이미 항의 합이라는 걸 알면서도, 거기서 개별 항 $u_n$을 뽑아내는 방법을 못 찾고 $S_n$ 식 자체를 $u_n$이라고 답해버리는 경우가 많습니다.

2왜 막히는가

$u_n=u_1r^{n-1}$처럼 "항의 공식"을 외운 것에만 의존하기 때문입니다. $S_n$이 공식이 아니라 숫자로, 혹은 이번처럼 $n$의 다항식으로 주어졌을 때 그 관계를 뒤집는 도구를 떠올리지 못합니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $S_1=u_1$이므로 $u_1=3(1)^2+5(1)=8$.

(b) $n\ge2$일 때 $u_n=S_n-S_{n-1}$입니다. $S_n-S_{n-1}=\bigl[3n^2+5n\bigr]-\bigl[3(n-1)^2+5(n-1)\bigr]=6n+2$로 정리되고, $n=1$을 대입해도 $6(1)+2=8=u_1$과 일치하므로 모든 $n\ge1$에서 성립합니다.

(c) $u_n=6n+2$는 $n$에 대한 일차식이므로, 기울기 $6$이 곧 공차입니다. $d=6$.

4어디로 확장되는가

$u_n=S_n-S_{n-1}$은 등차·등비수열뿐 아니라, $S_n$이 임의의 식으로 주어지는 모든 수열 문제(계차수열 포함)에 그대로 적용되는 범용 도구입니다.

1어디서 막히는가

일반항이 $r\cdot x^{r-1}$처럼 "계수 $r$"과 "등비 $x^{r-1}$"이 섞여 있는 걸 보고, 등비급수 공식을 그대로 대입하려다 막힙니다. 이건 순수한 등비수열이 아닙니다.

2왜 막히는가

등비급수의 "곱하고 빼는" 망원 기법이 $r$이라는 계수가 매번 바뀌는 상황에서도 통한다는 걸 모르기 때문입니다. $S_n-xS_n$을 계산하면 $r$의 계수 차이가 정확히 $1$씩 줄어들면서 순수 등비급수 형태가 남습니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $r=1,2,3$을 대입하면 $1,\ \dfrac23,\ \dfrac13$.

(b) $S_n=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$ ($x=\tfrac13$)이고 $xS_n=x+2x^2+\cdots+(n-1)x^{n-1}+nx^n$. 빼면 $S_n-xS_n=(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})-nx^n=\dfrac{1-x^n}{1-x}-nx^n$. $x=\tfrac13$을 대입하고 정리하면 $S_n=\dfrac94-\dfrac{6n+9}{4}\left(\dfrac13\right)^n$이 나옵니다.

(c) $n\to\infty$일 때 $(1/3)^n\to0$이므로 $S_\infty=\dfrac94$.

4어디로 확장되는가

같은 "곱하고 빼는" 망원 기법은 함수의 도함수를 급수로 표현하는 이항급수(AHL) 문제나, 대출 상환액이 매번 달라지는 금융 응용 문제에서도 반복됩니다.

1어디서 막히는가

$(2r-1)^2$을 전개하지 않고 주어진 $\sum r^2$ 공식에 $r$ 대신 $(2r-1)$을 그대로 밀어 넣으려는 시도가 가장 흔합니다.

2왜 막히는가

주어진 공식은 $\sum r^2$ 꼴에만 적용되는 것이지, $\sum(2r-1)^2$처럼 구조가 다른 합에 그대로 대입할 수 없습니다. 시그마는 선형이라 $\Sigma(a+b)=\Sigma a+\Sigma b$는 성립하지만, 제곱 안의 식을 통째로 바꿔치기할 수는 없습니다.

3어떻게 복구하는가

먼저 전개합니다: $(2r-1)^2=4r^2-4r+1$. 시그마의 선형성으로 나누면 $\sum(2r-1)^2=4\sum r^2-4\sum r+\sum 1=4\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+n$. 통분하고 정리하면 $\dfrac{n(4n^2-1)}{3}=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

4어디로 확장되는가

주어진 닫힌형 공식을 "재료"로 삼아 새로운 시그마를 조립하는 이 기술은, 부분분수(AHL)로 시그마를 소거하는 문제나 급수의 수렴 여부를 판정하는 Calculus 문제의 준비 단계로 그대로 이어집니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 $n$번째 적립금이 몇 번 복리로 불어나는지 헷갈려서, 등비급수의 항 수와 이자가 붙는 횟수를 하나씩 어긋나게 세는 실수가 흔합니다.

2왜 막히는가

"$n$번째 적립금"은 그 시점까지 이자를 $0$번 받은 상태(막 넣었으니까)이고, "첫 번째 적립금"이 가장 많이 불어나 있다는 방향 감각이 헷갈리기 때문입니다. 이걸 헷갈리면 공비의 지수가 하나씩 밀립니다.

3어떻게 복구하는가

(a) 첫 적립금은 두 번, 둘째는 한 번, 셋째는 0번 복리 적용을 받으므로 $2000(1.04)^2+2000(1.04)+2000$.

(b)·(c) $n$번째 적립 직후 총액은 $u_1=2000,\ r=1.04$인 등비급수 $S_n=\dfrac{2000\bigl(1.04^n-1\bigr)}{0.04}=50000\bigl(1.04^n-1\bigr)$. $n=10$: $S_{10}=50000(1.04^{10}-1)\approx\$24\,012$. $S_n>30000\iff 1.04^n>1.6\iff n>\dfrac{\ln1.6}{\ln1.04}\approx11.98$이므로 최소 $n=12$.

4어디로 확장되는가

이 모형은 대출 상환액 계산, 연금(annuity) 문제와 완전히 같은 구조입니다. 방향만 반대로 뒤집으면 "매년 인출하는" 문제로도 그대로 확장됩니다.

1어디서 막히는가

같은 문자 $x,y$가 등차 조건과 등비 조건에 동시에 걸려 있다는 걸 놓치고, 두 조건을 따로따로의 독립된 문제처럼 각각 풀려다 변수가 부족해서 막힙니다.

2왜 막히는가

$x,y$가 두 수열에 동시에 등장한다는 것은 두 조건이 "연립방정식"이라는 뜻인데, 등차·등비를 서로 다른 단원으로 배워서 한 문제 안에서 연결 지어 생각하는 훈련이 부족하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

등차: $x-2=y-x\Rightarrow y=2x-2$. 등비: $\dfrac{y}{x}=\dfrac{9}{y}\Rightarrow y^2=9x$. 대입하면 $(2x-2)^2=9x\Rightarrow4x^2-17x+4=0$. 근의 공식으로 $x=\dfrac{17\pm15}{8}$, 즉 $x=4$ 또는 $x=0.25$. $x=0.25$일 때 $y=2(0.25)-2=-1.5<0$이라 조건 $y>0$에 위배되어 기각합니다. 따라서 $x=4,\ y=6$.

4어디로 확장되는가

이런 식으로 이차방정식의 두 근 중 하나를 조건으로 걸러내는 판단은 기하 문제의 거리·각도 조건, 확률 문제의 $0\le p\le1$ 조건에서도 똑같은 방식으로 반복됩니다.

1어디서 막히는가

$z=x+yi$로 놓고 $|z-3|=|z-3i|$를 양변 제곱해서 대수적으로 전개하는 학생이 대부분입니다. 계산은 결국 맞아떨어지지만, 시간이 오래 걸리고 부호 실수가 잦습니다.

2왜 막히는가

$|z-a|$가 "점 $z$에서 점 $a$까지의 거리"라는 기하적 의미를 계산 문제로만 보고 지나치기 때문입니다. 조건 $|z-3|=|z-3i|$는 사실 점 $(3,0)$과 점 $(0,3)$으로부터 같은 거리에 있는 점이라는 뜻이고, 이건 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선입니다.

3어떻게 복구하는가

$(3,0)$과 $(0,3)$의 중점은 $(1.5,\,1.5)$, 두 점을 잇는 선분의 기울기는 $-1$이므로 수직이등분선의 기울기는 $1$. 따라서 궤적은 $y-1.5=1\cdot(x-1.5)$, 즉 $y=x$.

(b) $z=x+xi$를 $|z|=5$에 대입하면 $x\sqrt2=5$, $x=\dfrac{5\sqrt2}{2}$. 따라서 $z=\dfrac{5\sqrt2}{2}+\dfrac{5\sqrt2}{2}i$ 또는 $z=-\dfrac{5\sqrt2}{2}-\dfrac{5\sqrt2}{2}i$.

4어디로 확장되는가

같은 기하적 시선은 $|z-a|=k$(원), $\arg(z-a)=\theta$(반직선), $|z-a|=k|z-b|$(아폴로니우스 원) 같은 모든 궤적 문제에 그대로 적용됩니다. 대수로 풀 수 없는 게 아니라, 기하로 풀면 30초, 대수로 풀면 3분 걸리는 차이입니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 네 개의 일차식 $(z-(3+i))(z-(3-i))(z-(1-2i))(z-(1+2i))$을 순서 없이 마구잡이로 전개하다가 계산이 꼬여서 부호나 항을 빠뜨립니다.

2왜 막히는가

켤레쌍끼리 먼저 묶으면 각 쌍의 곱이 실수 이차식이 된다는 사실을 활용하지 않기 때문입니다. 순서를 잘못 잡으면 사차식을 한 번에 전개하게 되어 실수할 확률이 커집니다.

3어떻게 복구하는가

(a) 실계수 다항식이므로 켤레도 근입니다: $3-i,\ 1+2i$.

(b) 켤레쌍끼리 먼저 곱합니다: $(z-(3+i))(z-(3-i))=(z-3)^2+1=z^2-6z+10$, $(z-(1-2i))(z-(1+2i))=(z-1)^2+4=z^2-2z+5$. 두 이차식을 곱하면 $z^4-8z^3+27z^2-50z+50$. 따라서 $a=-8,\ b=27,\ c=-50,\ d=50$.

4어디로 확장되는가

켤레쌍을 먼저 묶는 이 순서는 실계수 다항식의 근을 다루는 모든 문제, 특히 6차 이상의 고차 다항식에서 계산량을 극적으로 줄여주는 표준 전략입니다.

1어디서 막히는가

$z=x+yi$로 놓고 양변을 직교형식으로 전개하기 시작하는데, $z^2=(x+yi)^2$의 실수부·허수부가 $x,y$에 대해 이차식으로 얽혀서 연립방정식이 지저분해지고 풀이가 막힙니다.

2왜 막히는가

$z$와 $\bar z$가 섞인 방정식은 직교형식보다 극형식이 훨씬 유리하다는 판단을 못 하기 때문입니다. 극형식에서는 거듭제곱과 켤레가 각각 "각도를 곱하기/각도의 부호 반전"이라는 단순한 조작이 됩니다.

3어떻게 복구하는가

$z=re^{i\theta}$로 놓으면 $\bar z=re^{-i\theta}$, $z^2=r^2e^{i2\theta}$. $r=0$이면 $z=0$은 자명한 해입니다. $r\neq0$일 때 크기를 비교하면 $r^2=r\Rightarrow r=1$. 각도를 비교하면 $2\theta\equiv-\theta\pmod{2\pi}\Rightarrow3\theta=2k\pi\Rightarrow\theta=\dfrac{2k\pi}{3}$, $k=0,1,2$. 따라서 $z=0,\ 1,\ -\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i,\ -\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$ (뒤의 세 개는 $1$의 세제곱근입니다).

4어디로 확장되는가

"$r=0$을 따로 떼어 검토"하는 습관은 $z^n=\bar z^m$ 꼴의 모든 방정식, 그리고 극형식 변환이 정의되지 않는 원점을 예외 처리해야 하는 모든 문제에서 반복됩니다.

1어디서 막히는가

이항전개해서 실수부까지는 $\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta$로 잘 뽑아내는데, 목표식이 $\cos\theta$만으로 되어 있다는 걸 보고도 $\sin^2\theta$를 그대로 남겨둔 채 "다 됐다"고 멈춰버립니다.

2왜 막히는가

3배각(홀수 차수)까지는 실수부에 $\sin$의 짝수 제곱만 남아서 굳이 치환하지 않아도 우연히 정리되는 경우가 있는데, 이 습관이 4배각(짝수 차수)에서는 통하지 않습니다. $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ 치환이 반드시 한 번 더 필요합니다.

3어떻게 복구하는가

이항정리로 $(\cos\theta+i\sin\theta)^4$을 전개하면 실수부는 $\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta$이고, 이것이 $\cos4\theta$와 같습니다. $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$를 대입해 전부 $\cos\theta$로 바꾸면: $\cos^4\theta-6\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)+(1-\cos^2\theta)^2=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$.

4어디로 확장되는가

이 "짝수 차수는 치환이 필수"라는 규칙은 배각공식을 역으로 써서 $\cos^n\theta$를 여러 배각의 합으로 바꾸는 선형화(linearisation) 문제, 그리고 그 결과를 적분하는 Calculus 문제에서 그대로 다시 마주치게 됩니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 "근과 계수의 관계"를 실수 이차방정식에서만 배운 공식이라고 여겨서, $z^2$의 계수가 $0$인 삼차방정식에 그 관계를 적용하는 걸 주저합니다.

2왜 막히는가

근과 계수의 관계는 계수가 복소수여도, 항이 생략되어 있어도(계수가 $0$이어도) 그대로 성립하는 대수적 항등식이라는 사실을 놓치기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $27e^{i\pi/2}$의 세제곱근은 크기 $3$, 각도 $\dfrac{\pi/2+2k\pi}{3}$ ($k=0,1,2$)이므로 $z_1=3e^{i\pi/6},\ z_2=3e^{i5\pi/6},\ z_3=3e^{-i\pi/2}$.

(b) $z^3+0\cdot z^2+0\cdot z-27e^{i\pi/2}=0$ 꼴이므로 근의 합은 $z^2$의 계수의 반대 부호, 즉 $0$입니다. 실제로 $3e^{i\pi/6}+3e^{i5\pi/6}+3e^{-i\pi/2}$를 직교형식으로 계산해도 실수부·허수부가 모두 $0$으로 상쇄되어 일치합니다.

4어디로 확장되는가

이 사실은 일반화됩니다 — $0$이 아닌 어떤 복소수의 $n$제곱근을 전부 더하면 항상 $0$입니다($n\ge2$). 단위근의 합이 $0$이라는 성질의 더 일반적인 버전입니다.

1어디서 막히는가

$z\bar z$를 $|z|^2=x^2+y^2$으로 바꾸는 것까지는 잘 하는데, 그 뒤 실수부·허수부를 비교하는 과정에서 이차방정식이 나온다는 걸 예상 못 하고 일차방정식처럼 풀려다 막힙니다.

2왜 막히는가

$z\bar z$가 이차항 $x^2+y^2$을 만들어낸다는 걸 놓치면, 답이 하나뿐일 거라고 지레짐작하게 됩니다. 실제로는 두 개의 해가 나올 수 있는 구조입니다.

3어떻게 복구하는가

$z\bar z-4z=(x^2+y^2)-4x-4yi=14-12i$. 허수부: $-4y=-12\Rightarrow y=3$. 실수부: $x^2+9-4x=14\Rightarrow x^2-4x-5=0\Rightarrow(x-5)(x+1)=0$. 따라서 $x=5$ 또는 $x=-1$, 즉 $z=5+3i$ 또는 $z=-1+3i$.

4어디로 확장되는가

$z\bar z$가 만드는 이차항을 알아채는 감각은, $|z-a|^2$ 형태로 전개되는 원의 방정식 문제나 복소수 부등식(영역) 문제로 그대로 이어집니다.

1어디서 막히는가

$(kx)^2=k^2x^2$까지는 잘 쓰다가, 이 항 앞에 붙는 이항계수 $\dbinom{7}{2}$를 빼먹고 바로 $k^2=525$로 놓아버리는 실수가 가장 많습니다.

2왜 막히는가

일반항 $T_{r+1}=\dbinom{n}{r}a^{n-r}b^r$에서 "계수"라는 말이 $b^r$ 부분(여기서는 $(kx)^2$)만을 가리킨다고 착각하기 때문입니다. 실제 $x^2$의 계수는 이항계수까지 포함한 전체 값입니다.

3어떻게 복구하는가

일반항은 $\dbinom{7}{r}1^{7-r}(kx)^r=\dbinom{7}{r}k^rx^r$이고, $r=2$일 때 계수는 $\dbinom{7}{2}k^2=21k^2$. $21k^2=525\Rightarrow k^2=25\Rightarrow k=\pm5$. 문제에서 $k>0$이므로 $k=5$.

4어디로 확장되는가

계수를 통째로 놓치는 이 실수는 이항급수(AHL) 문제나, 두 전개식을 곱해서 특정 차수의 계수를 구하는 복합 문제에서 훨씬 크게 벌어집니다. 일반항을 쓸 때 이항계수부터 적는 습관이 그때 가서 빛을 봅니다.

1어디서 막히는가

어느 $r$에서 상수항이 나오는지 감으로 짐작해서 대입해보고, 안 맞으면 또 다른 $r$을 시도하는 식으로 시행착오에 의존합니다.

2왜 막히는가

기존 문제들처럼 "$x^2$의 계수"라고 목표 차수가 콕 집어 주어지지 않고, "상수항"이라는 조건 자체를 지수 방정식으로 번역해야 한다는 걸 인식하지 못하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

일반항은 $\dbinom{9}{r}(2x^2)^{9-r}\left(-\dfrac1x\right)^r=\dbinom{9}{r}2^{9-r}(-1)^rx^{18-3r}$. 상수항이려면 지수가 $0$: $18-3r=0\Rightarrow r=6$. 대입하면 $\dbinom96\cdot2^3\cdot(-1)^6=84\times8=672$.

4어디로 확장되는가

"목표 조건을 먼저 지수 방정식으로 세우고 그 방정식을 풀어 $r$을 역산하는" 이 순서는 특정 차수의 항, 유리식 전개의 극한 등 목표가 간접적으로 주어지는 모든 이항정리 문제의 표준 절차입니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 "근사값이 실제보다 작다/크다"까지는 확인하지만, 왜 그 방향으로 오차가 생기는지 이유를 설명하지 못해 감점됩니다.

2왜 막히는가

급수를 세 항에서 잘라냈다는 것이, 버려진 나머지 항들의 부호와 직결된다는 인과관계를 짚지 않기 때문입니다. $x=0.02>0$이면 버려진 항들도 전부 양수입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $(1+x)^8=1+8x+\dbinom82x^2+\cdots=1+8x+28x^2+\cdots$.

(b) $x=0.02$를 대입: $1+8(0.02)+28(0.02)^2=1+0.16+0.0112=1.1712$.

(c) 실제값 $1.171659\ldots$보다 근사값이 약간 작습니다. $x=0.02>0$이므로 잘라낸 네 번째 항부터도 전부 양수인데, 이를 버렸기 때문에 근사값이 실제값보다 작게 나온 것이 이론과 일치합니다.

4어디로 확장되는가

"잘라낸 항의 부호로 오차의 방향을 미리 예측"하는 이 논리는 이항급수(AHL)의 수렴 구간 문제, 그리고 Calculus의 테일러 다항식 근사 오차 문제에서 똑같은 형태로 다시 나옵니다.

1어디서 막히는가

두 전개식 중 하나만 전개해서 $x^3$의 계수를 찾으려 하거나, $x^3$이 딱 한 가지 조합에서만 나온다고 착각합니다.

2왜 막히는가

두 다항식을 곱할 때 $x^3$ 항은 "$(1+x)^5$에서 $x^k$, $(1-2x)^4$에서 $x^{3-k}$"를 뽑는 모든 조합 $k=0,1,2,3$의 합이라는 사실을 놓치기 때문입니다. 한 가지 조합만 계산하고 멈추면 답이 크게 틀립니다.

3어떻게 복구하는가

$(1+x)^5$의 $x^k$ 계수는 $\dbinom5k$, $(1-2x)^4$의 $x^m$ 계수는 $\dbinom4m(-2)^m$입니다. $k+m=3$인 모든 조합을 더하면: $k{=}0{:}\ 1\cdot4\cdot(-8)=-32$; $k{=}1{:}\ 5\cdot6\cdot4=120$; $k{=}2{:}\ 10\cdot4\cdot(-2)=-80$; $k{=}3{:}\ 10\cdot1\cdot1=10$. 합은 $-32+120-80+10=18$.

4어디로 확장되는가

여러 항의 조합을 전부 나열해서 더하는 이 방식(합성곱)은 확률분포에서 두 독립 확률변수의 합의 분포를 구하는 문제, 급수의 곱을 다루는 Calculus 문제에서 동일한 논리로 다시 등장합니다.

1어디서 막히는가

$n=k+1$ 단계에서 $\displaystyle\sum_{r=1}^{k+1}r2^r = (k-1)2^{k+1}+2+(k+1)2^{k+1}$까지는 쓰는데, 이 두 개의 $2^{k+1}$ 항을 묶어서 목표식 $k\cdot2^{k+2}+2$ 꼴로 정리하지 못하고 멈춥니다.

2왜 막히는가

지수가 같은 두 항 $(k-1)2^{k+1}$과 $(k+1)2^{k+1}$을 "$2^{k+1}$로 묶어내면 된다"는 사실을 놓치고, 목표식의 지수 $2^{k+2}$만 보고 지레 막다른 길이라 여기기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

먼저 $n=1$일 때 좌변 $=1\cdot2=2$, 우변 $=(1-1)2^2+2=2$로 성립을 확인합니다. $n=k$에서 성립한다고 가정하면 $\displaystyle\sum_{r=1}^{k}r2^r=(k-1)2^{k+1}+2$이고, 양변에 $(k+1)2^{k+1}$을 더하면

$\displaystyle\sum_{r=1}^{k+1}r2^r=(k-1)2^{k+1}+(k+1)2^{k+1}+2=2^{k+1}\bigl[(k-1)+(k+1)\bigr]+2=2^{k+1}(2k)+2=k\cdot2^{k+2}+2$

이는 $n=k+1$일 때의 우변 $\bigl((k+1)-1\bigr)2^{(k+1)+1}+2=k\cdot2^{k+2}+2$와 정확히 일치합니다. 따라서 $n=k$에서 성립하면 $n=k+1$에서도 성립하고, $n=1$에서 성립하므로 모든 양의 정수 $n$에서 성립합니다.

4어디로 확장되는가

두 항을 공통 인수로 묶어 목표식의 형태로 강제로 맞추는 이 기술은 부등식 귀납법(예: $n! > 2^n$ 증명)이나, 미분 관련 귀납 증명(예: $\dfrac{d^n}{dx^n}$ 공식)에서 반복해서 등장합니다.

1어디서 막히는가

"$\log_2 3=\dfrac{p}{q}$라고 가정하자"까지는 쓰는데, 그다음 이 가정에서 실제로 모순을 어디서 끌어내야 할지 몰라 멈춥니다.

2왜 막히는가

로그 방정식을 지수방정식으로 바꾸는 절차를 증명 문제에도 적용해야 한다는 연결을 못 하기 때문입니다. $\sqrt2$의 무리수 증명에서는 "제곱하면 정수"가 핵심이었다면, 여기서는 "지수로 바꾸면 소인수가 다른 두 수가 같아진다"가 핵심입니다.

3어떻게 복구하는가

$\log_2 3$이 유리수라고 가정하고 $\log_2 3=\dfrac{p}{q}$ ($p,q\in\mathbb{Z}^+$)로 놓습니다. 그러면 $2^{p/q}=3$, 즉 $2^p=3^q$입니다. 그런데 $2^p$은 소인수가 $2$뿐이고 $3^q$는 소인수가 $3$뿐이므로(산술의 기본정리), $p,q\ge1$인 한 $2^p=3^q$는 성립할 수 없습니다. 이는 모순이므로, 처음 가정이 틀렸고 $\log_2 3$은 무리수입니다.

4어디로 확장되는가

"소인수가 서로 다른 두 수는 같을 수 없다"는 이 논증은 $\log_a b$ 꼴의 무리수 증명 전반에, 그리고 정수론적 성질을 이용하는 다른 귀류법 증명(예: 서로소인 두 수의 비가 정수가 될 수 없음을 보이는 문제)에 그대로 재사용됩니다.

1어디서 막히는가

귀납 단계에서 $(k+1)!=(k+1)\cdot k!>(k+1)\cdot3^k$까지는 쓰는데, 이걸 목표인 $3^{k+1}=3\cdot3^k$과 비교하는 마지막 한 걸음을 못 잇고 멈춥니다.

2왜 막히는가

등식 귀납법에 익숙해진 손이 "정리해서 똑같은 식 만들기"만 떠올리고, 부등식 귀납법에서는 "더 큰 값으로 한 번 더 눌러주는" 부등식 연쇄가 필요하다는 걸 놓치기 때문입니다. 여기서는 $k+1>3$이라는 조건 하나가 그 다리 역할을 합니다.

3어떻게 복구하는가

$n=7$: $7!=5040>2187=3^7$로 성립 확인(참고로 $n=6$은 $720<729$로 성립하지 않아, $n\ge7$이라는 범위가 정확한 경계임을 알 수 있습니다). $n=k$ ($k\ge7$)에서 성립한다고 가정하면 $k!>3^k$이고, $(k+1)!=(k+1)k!>(k+1)3^k$입니다. $k\ge7$이므로 $k+1\ge8>3$이고, 따라서 $(k+1)3^k>3\cdot3^k=3^{k+1}$. 연결하면 $(k+1)!>3^{k+1}$이 성립해 $n=k+1$에서도 참입니다. $n=7$에서 참이고 $k\to k+1$이 이어지므로 모든 $n\ge7$에서 성립합니다.

4어디로 확장되는가

"조건에서 나온 부등식 하나로 목표까지 한 번 더 밀어붙이는" 이 패턴은 $2^n>n^2$, $n^n>n!$ 같은 다른 성장률 비교 부등식 증명에 그대로 반복됩니다.

1어디서 막히는가

(a)에서 세 방정식을 그냥 소거법으로 풀어나가다가, 두 식만 가지고 $x,y,z$를 다 구했다고 착각하고 "유일한 해가 있다"고 결론짓는 경우가 많습니다.

2왜 막히는가

세 번째 식이 앞의 두 식을 단순히 더한 것(계수만 보면 $(1+2,\ 1-1,\ 1+1)=(3,0,2)$)이라는 걸 눈치채지 못하기 때문입니다. 세 평면 중 하나가 나머지 둘에 종속되어 있어서, 애초에 "세 개의 독립된 조건"이 아닙니다.

3어떻게 복구하는가

첫째식과 둘째식을 더하면 좌변이 $3x+0y+2z$가 되어 셋째식의 좌변과 정확히 같아집니다. 이는 계수행렬의 행렬식이 $k$와 무관하게 $0$이라는 뜻이므로, 이 연립방정식은 $k$가 얼마든 유일한 해를 가질 수 없습니다 — (a) 증명 끝.

(b) 첫째식+둘째식의 우변은 $4+5=9$이므로, 이 값이 셋째식의 우변 $k$와 같아야만($k=9$) 세 평면이 공통의 해를 공유합니다. $k=9$일 때 둘째식$-$첫째식: $x-2y=1\Rightarrow x=1+2y$. 첫째식에 대입: $z=4-x-y=3-3y$. $y=\lambda$로 놓으면

$$(x,y,z)=(1+2\lambda,\ \ \lambda,\ \ 3-3\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$$

4어디로 확장되는가

이 판별 과정은 벡터·기하 토픽의 "세 평면의 교집합" 문제(한 점 / 한 직선 / 해 없음, 세 가지 경우 분류)와 정확히 같은 논리이고, 행렬로 표현하면 계수행렬의 행렬식이 $0$인지 확인하는 문제로 그대로 이어집니다.