Statistics and Probability

1어디서 막히는가

(c)에서 $P(M\mid P)$와 $P(M)$이 "비슷한 값"이면 독립이라고 대충 판단해버립니다. 소수점까지 정확히 비교하지 않습니다.

2왜 막히는가

독립의 정의가 $P(M\mid P)=P(M)$의 "완전한 등식"이라는 걸 느슨하게 이해하기 때문입니다. 근사적으로 비슷해도 정확히 같지 않으면 독립이 아닙니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $P$인원$=60+90=150$, $M$인원$=60+30=90$. 최소 한 과목 이상$=60+90+30=180$. 둘 다 아님$=200-180=20$.

(b) $P(M\mid P)=\dfrac{60}{150}=0.4$.

(c) $P(M)=\dfrac{90}{200}=0.45$. $P(M\mid P)=0.4\neq0.45=P(M)$이므로 독립이 아닙니다.

4어디로 확장되는가

등식을 정확히 검증하는 이 원칙은 두 사건이 배반(mutually exclusive)인지 판정하는 문제, 그리고 이산확률변수가 특정 분포를 따르는지 확인하는 문제 전반에서 "근사치가 아니라 정확한 등식"을 요구하는 감각으로 이어집니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 다시 처음부터 확률을 계산하려 하거나, (b)에서 이미 구한 값을 재활용하지 않고 새로 트리 다이어그램을 그립니다.

2왜 막히는가

조건부확률 공식 $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$에서, (c)의 $B$(다른 색)와 (b)에서 구한 값이 정확히 같은 사건이라는 걸 연결 짓지 못하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $P(RR)=\dfrac58\times\dfrac47=\dfrac{5}{14}$.

(b) $P(RB)+P(BR)=\dfrac58\times\dfrac37+\dfrac38\times\dfrac57=\dfrac{15}{56}+\dfrac{15}{56}=\dfrac{15}{28}$.

(c) $P(\text{첫 번째 빨강}\mid\text{다른 색})=\dfrac{P(RB)}{P(\text{다른 색})}=\dfrac{15/56}{15/28}=\dfrac12$.

4어디로 확장되는가

이전 소문항의 계산 결과를 조건부확률의 분자·분모로 재활용하는 이 절차는 베이즈 정리를 활용하는 모든 문제, 그리고 이산확률변수의 조건부 기댓값을 구하는 AHL 문제에서 그대로 요구됩니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 $P(A'\cap B')$를 $1-P(A\cap B)$처럼 잘못된 식으로 구하려 합니다.

2왜 막히는가

"$A$도 $B$도 아님"이 "$A$와 $B$가 동시에 일어나지 않음"과 다른 사건이라는 걸 구분하지 못하기 때문입니다. 드모르간 법칙 $A'\cap B'=(A\cup B)'$을 써야 합니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow0.62=0.75-P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=0.13$.

(b) 독립이려면 $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.4\times0.35=0.14$이어야 하는데 실제는 $0.13$이므로 독립이 아닙니다.

(c) $P(A'\cap B')=P((A\cup B)')=1-P(A\cup B)=1-0.62=0.38$.

4어디로 확장되는가

드모르간 법칙으로 "둘 다 아님"을 "합집합의 여집합"으로 바꾸는 이 변환은 여러 조건을 동시에 배제하는 모든 확률 문제, 그리고 벡터·기하에서 "어느 쪽에도 속하지 않는 영역"을 다루는 문제와 같은 논리 구조입니다.

1어디서 막히는가

분자를 $\binom62+\binom52$처럼 더해버리거나, 순서를 고려한 순열로 계산해서 값이 틀립니다.

2왜 막히는가

"남자 2명을 뽑는 것"과 "여자 2명을 뽑는 것"이 동시에 일어나야 하는 사건이라는 걸 놓치고, 곱해야 할 것을 더해버리기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

전체 경우의 수: $\binom{11}{4}=330$. 남자 2명·여자 2명을 뽑는 경우: $\binom62\times\binom52=15\times10=150$. 확률 $=\dfrac{150}{330}=\dfrac5{11}$.

4어디로 확장되는가

"동시에 만족해야 하는 독립적 선택은 곱한다"는 이 원칙은 카드게임에서 특정 조합이 나올 확률, 그리고 이항정리의 특정 항의 계수를 구하는 문제(NA-BIN)와 같은 조합론적 사고를 공유합니다.

1어디서 막히는가

"95% 정확한 검사"라는 말을 듣고 답을 직관적으로 $0.95$ 근처라고 추측해버립니다. 실제 계산 없이 감으로 답을 씁니다.

2왜 막히는가

구하는 것은 $P(\text{검사 정확도})$가 아니라 $P(\text{질병}\mid\text{양성})$이라는, 방향이 반대인 조건부확률이라는 걸 놓치기 때문입니다. 유병률(2%)이 워낙 낮아서, 양성이어도 실제 질병일 확률은 훨씬 낮아집니다.

3어떻게 복구하는가

트리 다이어그램으로 정리: $P(\text{양성})=P(\text{양성}\mid\text{질병})P(\text{질병})+P(\text{양성}\mid\text{무질병})P(\text{무질병})=0.95(0.02)+0.10(0.98)=0.019+0.098=0.117$. $P(\text{질병}\mid\text{양성})=\dfrac{0.019}{0.117}\approx0.162$.

4어디로 확장되는가

"방향이 반대인 조건부확률"을 트리 다이어그램의 전체확률로 뒤집는 이 기법이 바로 베이즈 정리이고, 품질검사·스팸필터 같은 응용문제, 그리고 이산확률변수의 조건부 분포 문제(AHL)에서 형태만 바뀌어 반복됩니다.

1어디서 막히는가

"적어도 하나"를 정확히 1번, 정확히 2번, … 5번 나오는 경우를 전부 더하려고 시도해서 계산이 복잡해집니다.

2왜 막히는가

"적어도 하나"의 여사건이 "한 번도 없음" 단 하나뿐이라는 걸 활용하지 않기 때문입니다. 여사건이 훨씬 단순할 때는 그쪽을 구해서 빼는 게 표준 전략입니다.

3어떻게 복구하는가

$P(\text{적어도 하나의 }6)=1-P(\text{6이 한 번도 안 나옴})=1-\left(\dfrac56\right)^5=1-\dfrac{3125}{7776}=\dfrac{4651}{7776}\approx0.598$.

4어디로 확장되는가

"적어도 하나"를 여사건으로 뒤집는 이 트릭은 이항분포에서 $P(X\ge1)$을 구하는 문제, 그리고 여러 독립시행이 반복되는 거의 모든 확률 문제에서 계산량을 극적으로 줄여주는 표준 전략입니다.

1어디서 막히는가

$k$를 구하는 데 필요한 조건이 어디 숨어있는지 못 찾고 멈춥니다. 문제에 "합이 1"이라는 말이 직접 쓰여있지 않기 때문입니다.

2왜 막히는가

확률분포표의 가장 기본적인 성질 — 모든 확률의 합이 반드시 $1$이라는 것 — 이 암묵적으로 항상 전제되어 있다는 걸 습관적으로 떠올리지 못하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $0.1+k+2k+0.3=1\Rightarrow3k=0.6\Rightarrow k=0.2$.

(b) $E(X)=0(0.1)+1(0.2)+2(0.4)+3(0.3)=0.2+0.8+0.9=1.9$.

4어디로 확장되는가

"암묵적 조건(합이 1)"을 놓치지 않는 이 습관은 연속확률변수의 pdf에서 미지수를 구하는 문제(PS-CRV), 그리고 이항분포·정규분포의 매개변수를 역산하는 모든 문제의 출발점입니다.

1어디서 막히는가

"이긴 금액"과 "순이익"을 혼동해서, $5달러 참가비를 빼지 않고 그대로 $X$ 값으로 씁니다.

2왜 막히는가

$X$가 "당첨금"이 아니라 "순이익(당첨금$-$참가비)"으로 정의되어 있다는 걸 문제 서두에서 놓치기 때문입니다. 모든 경우에서 $5$를 빼야 합니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $X=-5$ (확률 $\frac12$, 1·2·3), $X=-2$ (확률 $\frac13$, 4·5), $X=w-5$ (확률 $\frac16$, 6).

(b) $E(X)=(-5)\left(\frac12\right)+(-2)\left(\frac13\right)+(w-5)\left(\frac16\right)=0$. 양변에 $6$을 곱하면 $-15-4+(w-5)=0\Rightarrow w=24$.

4어디로 확장되는가

"게임이 공정하다 = 기댓값이 0"이라는 이 번역은 보험료 산정, 도박의 기댓값 문제, 그리고 연속확률변수의 기댓값을 이용한 공정성 판단 문제에서 똑같은 방식으로 등장합니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 $\text{Var}(3X-2)$를 구할 때 $-2$까지 제곱해서 $9\text{Var}(X)-4$처럼 계산해버립니다.

2왜 막히는가

분산은 "퍼진 정도"를 재는 값이라, 전체를 평행이동(상수를 더하기)해도 퍼진 정도 자체는 변하지 않는다는 걸 모르기 때문입니다. 상수항은 분산에 전혀 영향을 주지 않습니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $E(X)=1(0.2)+2(0.5)+3(0.3)=2.1$. $E(X^2)=1(0.2)+4(0.5)+9(0.3)=4.9$. $\text{Var}(X)=4.9-2.1^2=0.49$.

(b) $E(3X-2)=3(2.1)-2=4.3$. $\text{Var}(3X-2)=3^2\text{Var}(X)=9(0.49)=4.41$ (상수 $-2$는 분산에 영향 없음).

4어디로 확장되는가

"기댓값은 상수도 그대로 따라가지만 분산은 곱셈 계수만 제곱으로 반영된다"는 이 규칙은 표준화 변환 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$(PS-NRM)가 왜 평균 0, 분산 1을 만드는지 설명하는 바로 그 원리입니다.

1어디서 막히는가

(c)에서 $X=2,3,\ldots,8$의 확률을 전부 하나씩 계산해서 더하려다 시간을 크게 낭비합니다.

2왜 막히는가

여사건을 쓰면 단 두 항($X=0,1$)만 계산하면 된다는 걸 확률분포 문제에도 적용할 수 있다는 걸 놓치기 때문입니다. "적어도"라는 말이 여사건 신호라는 감각이 아직 부족합니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $X\sim B(8,0.3)$.

(b) $P(X=3)=\binom83(0.3)^3(0.7)^5\approx0.254$.

(c) $P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-(0.7)^8-8(0.3)(0.7)^7\approx1-0.0576-0.1977\approx0.745$.

4어디로 확장되는가

"적어도"를 여사건으로 뒤집는 전략은 PS-PRB의 독립시행 문제에서 이미 봤고, 여기서 이항분포라는 구체적인 분포에 적용됩니다. 정규분포로 근사하는 문제(대표본)에서도 같은 발상이 이어집니다.

1어디서 막히는가

(a)에서 $k$를 구하는 조건이 이산확률변수처럼 "확률의 합이 1"이 아니라 "적분값이 1"이라는 걸 떠올리지 못해 멈춥니다.

2왜 막히는가

이산확률변수에서 익힌 "$\sum P=1$" 감각을 연속확률변수로 그대로 옮기려 하기 때문입니다. 연속에서는 합이 적분으로 바뀝니다: $\int f(x)\,dx=1$.

3어떻게 복구하는가

(a) $\displaystyle\int_0^4kx(4-x)\,dx=k\left[2x^2-\dfrac{x^3}3\right]_0^4=k\cdot\dfrac{32}3=1\Rightarrow k=\dfrac3{32}$.

(b) $\displaystyle\int_1^3\dfrac3{32}(4x-x^2)\,dx=\dfrac3{32}\left[2x^2-\dfrac{x^3}3\right]_1^3=\dfrac3{32}\left(9-\dfrac53\right)=\dfrac{11}{16}$.

4어디로 확장되는가

"합이 적분으로 바뀐다"는 이 번역은 연속확률변수의 기댓값·중앙값을 구하는 모든 문제, 그리고 Calculus에서 넓이·부피를 적분으로 구하는 문제와 정확히 같은 사고 전환입니다.

1어디서 막히는가

중앙값을 정의역의 중점인 $y=2$로 그냥 답해버립니다.

2왜 막히는가

이 분포는 균등분포가 아니라 $y$가 커질수록 밀도가 높아지는 분포라서, "구간의 중점"과 "확률을 반으로 나누는 점"이 다르다는 걸 놓치기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

중앙값 $m$은 $\displaystyle\int_0^m\dfrac y8\,dy=0.5$를 만족합니다. $\left[\dfrac{y^2}{16}\right]_0^m=\dfrac{m^2}{16}=0.5\Rightarrow m^2=8\Rightarrow m=2\sqrt2\approx2.83$.

4어디로 확장되는가

확률을 정확히 반으로 나누는 점을 적분방정식으로 찾는 이 절차는 사분위수를 구하는 문제, 그리고 지수분포·정규분포 같은 다른 연속분포에서 특정 백분위수를 찾는 문제에서 형태만 바뀌어 반복됩니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 $\displaystyle\int_{-1}^1x\cdot\dfrac32x^2\,dx$를 처음부터 끝까지 계산하다가, 부호 실수로 $0$이 아닌 값을 답으로 냅니다.

2왜 막히는가

피적분함수 $x\cdot\frac32x^2=\frac32x^3$이 기함수(odd function)이고, 그 적분 구간이 원점에 대해 대칭이라는 걸 알아채면 계산 없이 답이 $0$임을 바로 알 수 있는데, 이 지름길을 모르기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac32x^2\,dx=\dfrac32\left[\dfrac{x^3}3\right]_{-1}^1=\dfrac32\cdot\dfrac23=1$이고 $f(x)\ge0$이므로 유효한 pdf입니다.

(b) $\dfrac32x^3$은 기함수이고 적분 구간 $[-1,1]$이 원점 대칭이므로, 대칭인 양의 부분과 음의 부분이 정확히 상쇄되어 $E(X)=0$입니다.

4어디로 확장되는가

기함수·우함수의 대칭성으로 적분 계산을 생략하는 이 지름길은 Calculus의 정적분 문제, 그리고 표준정규분포가 대칭이라서 $E(Z)=0$이 성립하는 이유를 설명하는 것과 정확히 같은 원리입니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 (a)와 똑같이 정규분포 확률을 "구하는" 방향으로 계산기를 쓰려다, GDC에 넣을 수 있는 형태가 아니라는 걸 깨닫고 멈춥니다.

2왜 막히는가

(a)는 "값 → 확률"(정방향, normalcdf류), (b)는 "확률 → 값"(역방향, invNorm류)이라는, GDC에서 완전히 다른 기능을 써야 한다는 걸 구분하지 못하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $Z=\dfrac{185-175}7\approx1.43$. $P(X>185)\approx0.0766$.

(b) 상위 10%이므로 $P(X

4어디로 확장되는가

정방향·역방향 계산기 기능을 구분하는 이 감각은 이항분포·포아송분포의 역산 문제, 그리고 신뢰구간을 구하는 통계 추론 문제(더 상위 과정)에서 동일하게 요구됩니다.

1어디서 막히는가

정규분포 문제인데 미지수가 확률이나 $x$값이 아니라 평균 $\mu$ 자체라는 걸 보고, 어떤 GDC 기능을 써야 할지 몰라 멈춥니다.

2왜 막히는가

$\mu$가 미지수여도 표준화 공식 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$은 여전히 성립하고, 이걸 $\mu$에 대한 방정식으로 풀 수 있다는 연결을 못 하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

$P(X>40)=0.2$이므로 대응하는 $z$값은 $z=\text{invNorm}(0.8)\approx0.8416$. 표준화 공식에서 $\dfrac{40-\mu}5=0.8416\Rightarrow40-\mu=4.208\Rightarrow\mu\approx35.8$.

4어디로 확장되는가

표준화 공식을 $\mu$나 $\sigma$에 대한 방정식으로 뒤집어 푸는 이 기술은 품질관리에서 규격을 벗어나는 비율을 목표치로 맞추기 위해 공정 평균을 조정하는 실제 응용 문제로 그대로 이어집니다.

1어디서 막히는가

(b)에서 "15%가 더 걸린다"는 조건을 $P(X

2왜 막히는가

"더 걸린다"는 "초과"를 의미하는데, 이걸 자동으로 "이하"의 확률로 바꿔 쓰는 실수입니다. 문장을 부등호로 정확히 번역하는 단계를 건너뛰기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $Z=\dfrac{38-45}8=-0.875$. $P(X<38)\approx0.191$.

(b) "$t$분보다 오래 걸리는 학생이 15%" $\Rightarrow P(X>t)=0.15\Rightarrow P(X

4어디로 확장되는가

문장 속 "이상/이하/초과/미만"을 정확한 부등호로 번역하는 이 훈련은 모든 확률 문제의 출발점이고, 특히 이산확률변수에서 "적어도"·"많아야"를 부등식으로 옮기는 문제에서 계속 반복됩니다.

1어디서 막히는가

공식에 있는 $n\sum xy$와 $(\sum x)(\sum y)$를 혼동해서, $\sum x\sum y$ 대신 $\sum(xy)$를 또 쓰는 식으로 항을 중복 사용합니다.

2왜 막히는가

공식이 길어서 각 기호가 정확히 무엇을 가리키는지(합산 기호의 위치) 놓치고 기계적으로 숫자만 대입하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

$r=\dfrac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{[n\sum x^2-(\sum x)^2][n\sum y^2-(\sum y)^2]}}$. 분자 $=10(3450)-150(220)=34500-33000=1500$. 분모 안: $[10(2400)-150^2][10(5100)-220^2]=[1500][2600]=3{,}900{,}000$. $r=\dfrac{1500}{\sqrt{3{,}900{,}000}}\approx0.760$.

(b) $r\approx0.76$은 $x$와 $y$ 사이에 꽤 강한 양의 선형 상관관계가 있음을 나타냅니다.

4어디로 확장되는가

공식의 각 기호를 정확히 추적하는 이 꼼꼼함은 분산·표준편차의 계산 공식(요약통계에서), 그리고 카이제곱 검정통계량(더 상위 과정)을 계산하는 문제로 이어집니다.

1어디서 막히는가

(b)에서도 그냥 $x=100$을 대입해서 $y$값을 계산해버리고, "왜 부적절한지"를 설명하라는 지시를 놓칩니다.

2왜 막히는가

회귀직선이 원래 데이터가 관찰된 범위 안에서만 신뢰할 수 있다는 걸 모르고, 수식으로 대입만 하면 언제나 유효한 계산 도구라고 여기기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

(a) $y=2.5(30)+12=87$.

(b) $x=100$은 원래 데이터의 범위($10\sim50$)를 크게 벗어난 외삽(extrapolation)입니다. 그 범위 밖에서 선형 관계가 계속 유지된다는 보장이 없으므로 추정값을 신뢰할 수 없습니다.

4어디로 확장되는가

"모델이 유효한 범위"를 확인하는 이 습관은 함수 모델(FN-QUAD, FN-EXPLOG)의 실생활 응용 문제, 그리고 미분방정식으로 만든 성장 모델을 장기간 적용할 때의 한계를 논하는 Calculus 문제에서 똑같이 요구됩니다.

1어디서 막히는가

도수의 합(분모)에도 $x$가 들어있다는 걸 잊고, 분모를 고정된 숫자로 놓은 채 방정식을 세워 틀린 답을 얻습니다.

2왜 막히는가

평균 공식 $\dfrac{\sum(\text{값}\times\text{도수})}{\sum\text{도수}}$에서 분모와 분자 모두에 미지수 $x$가 등장하는 걸 놓치고, 분자만 미지수라고 생각하기 때문입니다.

3어떻게 복구하는가

전체 인원 $=8+x+10+4=22+x$. 합 $=0(8)+1(x)+2(10)+3(4)=x+32$. 평균: $\dfrac{x+32}{22+x}=1.2\Rightarrow x+32=1.2(22+x)=26.4+1.2x\Rightarrow5.6=0.2x\Rightarrow x=28$.

4어디로 확장되는가

분모에도 미지수가 있는 방정식을 정리하는 이 감각은 이산확률변수의 확률 자체가 미지수인 문제, 그리고 가중평균이 낀 화학·물리 응용 문제에서 똑같이 요구됩니다.

1어디서 막히는가

기울기는 있는데 $y$절편을 구할 점이 없다고 생각해서 막힙니다. 평균값 $\bar x,\bar y$가 왜 주어졌는지 연결하지 못합니다.

2왜 막히는가

회귀직선이 항상 데이터의 평균점 $(\bar x,\bar y)$을 지난다는 핵심 성질을 모르기 때문입니다. 이 사실이 바로 "점 하나"를 제공합니다.

3어떻게 복구하는가

회귀직선은 $(\bar x,\bar y)=(12,45)$를 지나므로 $45=2.5(12)+c\Rightarrow45=30+c\Rightarrow c=15$. 직선: $y=2.5x+15$.

4어디로 확장되는가

"평균점을 지난다"는 이 성질은 $x$와 $y$ 두 회귀직선(y-on-x, x-on-y)이 서로 다른 직선이면서도 항상 한 점(평균점)에서 만난다는 사실, 그리고 상관계수 $r$과 두 회귀직선 기울기의 곱의 관계로 이어지는 더 깊은 통계 이론의 출발점입니다.